泰兴市第三高级中学2013-2014学年度期中调研测试

高三数学（理）试题 2013.10.29

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1、已知复数
，且
，则
▲

2、已知集合
，则
的所有非空真子集的个数是 ▲

3、已知数列
是等差数列，且
，则
＝ ▲

4、给出下列几个命题：①
是
的必要不充分条件；②若A、B、C、D是不共线的四点，则
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若
则
④
的充要条件是
；⑤若
为互相垂直的单位向量，
，
，则
的夹角为锐角的充要条件是

其中，正确命题的序号是 ▲

5、设函数
是定义在R上的偶函数，当
时，
，若
，则实数
的值为 ▲

6、已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
的值是 ▲ .

7、若命题“
，使
”的否定是假命题，则实数
的取值范围是 ▲

8、方程
有 ▲ 个不同的实数根

9、已知
，其中
，若
，

则
= ▲

10、已知
是定义在
上的函数，且对任意实数
，恒有
，且
的最大值为1，则满足
的解集为 ▲

11、如图, 在等腰三角形
中, 底边
,
,

, 若
, 则
= ▲

12、将函数
（
）的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，若
在
上为增函数，则
的最大值为 ▲

13、设等差数列
的首项及公差均是正整数，前
项和为
，且
，
，
，则
= ▲

14、已知函数
（
为常数，
为自然对数的底数）的图象在点
处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数
的取值范围是

▲

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15.（本小题满分14分）

已知
是同一平面内的三个向量，其中

（1）若
，且
，求：
的坐标

（2）若
，且
与
垂直，求
与
的夹角

16. （本小题满分14分）

在△
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，且
.

（Ⅰ）若
，求角
；

（Ⅱ）设
，
，试求
的最大值.

17、（本小题满分15分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
．

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC的外接圆直径为1，求
的取值范围．

18、（本小题满分15分）

如图,在半径为
、圆心角为60°的扇形的
弧上任取一点
,

作扇形的内接矩形
,使点
在
上,点
在
上,

设矩形
的面积为
.

(Ⅰ) 按下列要求写出函数关系式：

① 设
,将
表示成
的函数关系式；

② 设
,将
表示成
的函数关系式.

(Ⅱ) 请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,求
的最大值.

19、（本小题满分16分）

已知函数
(a，b均为正常数).

（1）求证：函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点；

（2）设函数在
处有极值，

①对于一切
，不等式
恒成立，求b的取值范围；

②若函数f(x)在区间
上是单调增函数，求实数m的取值范围.

20、（本小题满分16分）

已知数列
的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列
前
项和为
，且满足

（1）求数列
的通项公式；

（2）求数列
前
项和
；

（3）在数列
中，是否存在连续的三项
，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数
的值；若不存在，说明理由

泰兴市第三高级中学2013-2014学年度期中调研测试

高三数学（理）试题参考答案 2013.10.29

1、
；2、
；3、
；4、
；5、
；6、
；7、

8、2；9、1；10、
；11、
；12、2；13、4026；14、

15、解：设
由
得

所以，
------------------------------------7分

（2）∵
与
垂直，∴

即
；∴

∴
，∵
∴
--------------14分

16、解：∵
；∴
，∵
∴

（1）∵

∴
∵

∴
，又

∴
或
（舍去）∴
------------7分

（2）
令
∴

∴
时，
的最大值为
--------14分

17、解：(1)因为
，即
，

所以
，

即
，

得
． …………………………………………………4分

所以
，或
(不成立)．

即
, 得
． ………………………………7分

(2)由

．

因
， ………………………………………8分

故

=
． …………………12分

，故
．…………15分

18、解：(Ⅰ) ① 因为
,所以
,

又
,所以
……2分

故
(
)…………………4分

② 当
时,
,则
,又
,所以
…6分

故
(
)…8分

(Ⅱ)由②得
=
…………12分

故当
时,y取得最大值为
………………………15分

19、（1）证明：
，

所以，函数
在
内至少有一个零点-------------4分

（2）
由已知得：
所以a=2，

所以f（x）=2sinx﹣x+b---------------------------------------------------------5分

①不等式
恒成立可化为：sinx﹣cosx﹣x＞﹣b

记函数g（x）=sinx﹣cosx﹣x，

，所以
在
恒成立--------------------8分

函数
在
上是增函数，最小值为g（0）=﹣1

所以b＞1， 所以b的取值范围是（1，+∞）-------------------------------------10分

②由
得：
，所以m＞0------------------11分

令f′（x）=2cosx﹣1＞0，可得
-----------------13分

∵函数f（x）在区间（
）上是单调增函数，

∴
-------------------------------------14分

∴6k≤m≤3k+1

∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1 ∴k=0 ∴0＜m≤1---------------------------16分

20、解：（1）设等差数列的公差为
，等比数列的公比为
，

则

又
，
，解得

∴对于
，有

故
----------------------5分

（2）
-----------------8分

（3）在数列
中，仅存在连续的三项
，按原来的顺序成等差数列，此时正整数
的值为1，下面说明理由-----------------------------------------------10分

若
，则由
，得

化简得
，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立-----12分

若
，则由
，得

化简得
------------------------------------------------------------14分

令
，则

因此，
，故只有
，此时

综上，在数列
中，仅存在连续的三项
，按原来的顺序成等差数列，此时正整数
的值为1-----------------------------------------------------------16分