惠州市2014届高三第二次调研考试试题

数 学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．sj.fjjy.org

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1. 已知集合
，集合
，
表示空集，那么
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 命题“存在实数
，使
”的否定为（ ）

A．对任意实数
，都有
B．不存在实数
，使

C．对任意实数
，都有
D．存在实数
，使

3. 双曲线
的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 直线
与圆

的位置关系是（ ）

A．相切 B．相交且直线不经过圆心

C．相离 D．相交且直线经过圆心

5. 已知
，
，若
，则
等于（ ）sj.fjjy.org

A．
B．
C．
D．

6. 函数
的定义域为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
为（ ）sj.fjjy.org

A．
B．
C．
D．

8. 已知函数
的部分

图像如图所示，则
的值分别为（ ）

A．
B．

C．
D．

9．已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，给出下列4个命题：

①若
②若

③若
④若

其中真命题的序号为（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

10. 设
是正
及其内部的点构成的集合，点
是
的中心，若集合
.则集合
表示的平面区域是（ ）

A．三角形区域 B．四边形区域

C．五边形区域 D．六边形区域

二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分）

（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

11.复数
的虚部为__________．

12.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为_________.

13.设变量
满足约束条件
，则
的

最大值为_________.

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系下，圆
的圆心到直线
的距离为 ．

15.（几何证明选讲选做题）如图，圆
是
的外接圆，过点
的切线交
的延长线于点
，且
，
，则
的长为　　　．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
.

（1）求函数
的最小正周期和最值；

（2）求函数
的单调递减区间．

17．（本小题满分12分）

对某校高一年级学生参加社区服务次数统计，随机抽去了
名学生作为样本，得到这
名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表如下：

（1）求出表中
的值；

（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于
次的学生中任选
人，求至少一人参加社区服务次数在区间
内的概率．

18.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥
中，
底面
,

为
的中点,
.

（1）求证：
平面
；

（2）求点
到平面
的距离。

19.（本小题满分14分）

已知数列
的前
项和是
，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求适合方程
的正整数
的值．

20.（本小题满分14分）

已知椭圆的一个顶点为
，焦点在
轴上，若右焦点到直线
的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线
与椭圆相交于不同的两点
、
，当
时，求
的取值范围.

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）若函数
在点
处的切线方程为
，求
的值；

（2）若
，函数
在区间
内有唯一零点，求
的取值范围；

（3）若对任意的
，均有
，求
的取值范围．

惠州市2014届高三第二次调研考试试题答案

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10sj.fjjy.org



答案























1．【解析】因为
，所以
，选
；

2．【解析】特称命题的否定为：对任意实数
，都有
，选
；

3．【解析】由
可知
，
所以
，离心率
，选

4．【解析】圆心
到直线
的距离为
，而圆的半径为
， 距离等于半径，所以直线与圆相切，选
；

5．【解析】由
得
，解得
， 选
；sj.fjjy.org

6．【解析】要使解析式有意义，必须满足
，解得
，选
；

7．【解析】
，即
，得
，据等差数列前
项和公式
得
，选

8．【解析】据五点法可得
，解得
，
，选
；

9．【解析】若
则
与
的位置关系不能确定，所以命题①错误，

若
，命题②正确，若两平面垂直于同一条直线，则这两平面平行，所以命题③正确，两直线同时平行于一个平面，这两条直线的位置关系不能确定，所以命题④正确，综上所述，选
；

10．【解析】因为正三角形中心为正三角形的重心，重心为中线

的一个三等分点，如图所示，图中六边形

区域为集合
所表示的平面区域，选
。

二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，共20分）

11．
12．
13．
14．
15．

11．【解析】由
，可得虚部为
；

12．【解析】第一次循环：
； 第二次循环：
；；

第三次循环：
，
；跳出循环，输出
；

13．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当目标函数对应的直线过点
时；

的值最大，即
；

14．【解析】
化为普通方程为
，可知圆心坐标为
，
化为普通方程为
，
；

15．【解析】据切割线定理可得
，即
，

解得
或
，舍去
，所以
。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. （本小题满分12分）

解：（1）


…………………………3分

…………………………4分

当
即
时，
取最大值2；…………5分

当
即
时，
取最小值-2…………6分

（2）由

， ………………………8分

得
………………………10分

∴单调递减区间为
. ………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）因为
，所以
……………2分

又因为
，所以
……………3分

所以
，
……………4分

（2）设参加社区服务的次数在
内的学生为
，参加社区服务的次数在
内的学生为
； ……………5分

任选
名学生的结果为：

共
种情况 ； ……………8分

其中至少一人参加社区服务次数在区间
内的情况有

，共
种情况…10分

每种情况都是等可能出现的，所以其中至少一人参加社区服务次数在区间
内的概率为
. ……………12分

18.（本小题满分14分）

证明：（1）因为
平面
，
平面
，

所以
…………2分

又因为在
中，
，
为
的中点，

所以
…………4分

又
平面
，
平面
，且
，

所以
平面
………6分

（2）法一：因为
平面
且
平面

所以平面

平面
， ……………8分

又因为平面

平面

，

所以点
到
的距离
即为点
到平面
的距离， ……………10分

在直角三角形
中，由
……………11分

得
……………13分

所以点
到平面
的距离为
. ………………………14分

法二：设点
到平面
的距离为
， 据
………8分

即
，得
………………………13分

所以点
到平面
的距离为
. ………………………14分

19．（本小题满分14分）

（1） 当
时，
，由
，得
……………………1分

当
时，∵
，
， …………………2分

∴
，即
　

∴
…………………………………………5分

∴
是以
为首项，
为公比的等比数列．…………………………………6分

故

　…………………………………………7分

（2）
，
……………9分

…………………………………………11分

……13分

解方程
，得
…………………………………………14分

20.（本小题满分14分）

解: （1）依题意可设椭圆方程为
，………………………….2分

则右焦点
的坐标为
， ………………………….3分

由题意得
，解得
，

故所求椭圆的标准方程为
. ………………………….5分

（2）设
、
、
，其中
为弦
的中点，

由
，得
…………………….7分

因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以

即
①， ………………………….8分

，所以
，

从而
, ………………………….9分

所以
， ………………………….10分

又
，所以
，

因而
，即
②， ……………………….11分

把②式代入①式得
，解得
， ……………………
…….12分

由②式得
，解得
， ………………………….13分

综上所述，求得
的取值范围为
. ………………………….14分

21．（本小题满分14分）

(1)
，所以
，得
.………………2分

又
，所以
，得
.………………3分

（2） 因为
所以
，
.………………4分

当
时，
，当
时，

所以
在
上单调递减，在
上单调递增 ………………5分

又
，可知
在区间
内有唯一零点等价于

或
， .………………7分

得
或
. .………………8分

(3) 若对任意的
，均有
，等价于

在
上的最大值与最小值之差
……………10分

（ⅰ） 当
时，在
上
，
在
上单调递增，

由
，得
，

所以
.………………9分

（ⅱ）当
时，由
得

由
得
或

所以
，同理
.………………10分

当
，即
时，
，与题设矛盾；

.………………11分

当
，即
时，
恒成立；……………12分

当
，即
时，
恒成立；

.………………13分

综上所述，
的取值范围为
. .………………14分