惠州市2014届高三第二次调研考试

数 学 (理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

参考公式： 球的体积公式：

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．复数
的虚部为（ ）

2．设集合
，集合
为函数
的定义域，则
（ ）

3．设
是等差数列
的前
项和，
,则
（ ）

4. 按右面的程序框图运行后,输出的
应为（ ）

5.“
”是“直线
:
与
:
平行”的（ ）

充分不必要条件
必要不充分条件

充分必要条件
既不充分也不必要条件

6． 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是
的圆，则这个几何体的体积是 （ ）

7．采用系统抽样方法从
人中抽取
人做问卷调查，为此将他们随机编号为
,
，……，
，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为
.抽到的
人中，编号落入区间
的人做问卷
，编号落入区间
的人做问卷
，其余的人做问卷
.则抽到的人中，做问卷
的人数为 （ ）

sj.fjjy.org

8．已知函数
且函数
的零点均在区间

内，圆
的面积的最小值是（　）

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．若向量
则
.

10. 若
，则
= .

11. 已知变量
满足约束条件
则
的最大值为 .

12. 若
展开式的常数项是
，则常数
的值为 .

13．已知奇函数
则
的值为 .

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的距离的最小值是________.

15.（几何证明选讲选做题）如图，
是圆
的直径

延长线上一点，
是圆
的切线，
是切点，
，

，
，
= ．

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）

16．（本小题满分12分）

已知函数
.

(1)求函数
的最小正周期和最值；

(2)求函数
的单调递减区间．

17．（本题满分12分）

若盒中装有同一型号的灯泡共
只，其中有
只合格品，
只次品。

（1） 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡
次，每次取一只灯泡，求
次取到次品的概率；

（2） 某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数
的分布列和数学期望．

18.（本小题满分14分）

四棱锥
底面是平行四边形，面
面
,

,
,
分别为
的中点.

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值.

19．（本小题满分14分）

已知数列
的前
项和是
，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求适合方程
的正整数
的值．

20．（本小题满分14分）

已知左焦点为
的椭圆过点
．过点
分别作斜率为
的椭圆的动弦
，设
分别为线段
的中点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若
为线段
的中点，求
；

（3）若
，求证直线
恒过定点，并求出定点坐标．

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）当
时，求函数
在
上的极值；

（2）证明：当
时，
；

（3）证明：

.

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数学 (理科）参考答案与评分标准

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

B

C

A

D

A

A



1.【解析】因为
。故选B

2.【解析】集合
，集合B为函数
的定义域，所以
，所以
（1，2]。故选D

3【解析】
得
，即
，所以
，选Bsj.fjjy.org

4.【解析】第一次循环：
，不满足条件，再次循环；

第二次循环：
，不满足条件，再次循环；

第三次循环：
，不满足条件，再次循环；

第四次循环：
，不满足条件，再次循环；

第五次循环：
，满足条件，输出S的值为40.

故选C

5.【解析】由直线
:
与
:
平行，得
，所以“
”是“直线
:
与
:
平行”的充分不必要条件。故选A

6.【解析】由题知该几何体是挖去
个球的几何体。所以
.故选D

7.【解析】由系统抽样的原理知将960人分30组，所以第一组抽450/30=15人，第二组抽（750-450）/30=10，第三组抽32-15-10=7人。故选A

8.【解析】∵f（x）=1+x﹣
，

∴当x＜﹣1或x＞﹣1时，f'（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2012=
＞0．

而当x=﹣1时，f'（x）=2013＞0

∴f'（x）＞0对任意x∈R恒成立，得函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数

∵f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣
﹣
）+…+（﹣
﹣
）＜0，f（0）=1＞0

∴函数f（x）在R上有唯一零点x0∈（﹣1，0）

∴b﹣a的最小值为0-（-1）=1.

∵圆x2+y2=b﹣a的圆心为原点，半径r=

∴圆x2+y2=b﹣a的面积为πr2=π（b﹣a）≤π，可得面积的最小值为π。故选：A

二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

9．（-2，-4） 10．
11．1 12．4 13．-8 14．
15．

9.【解析】因为
所以

10.【解析】
得
，

又

11.【解析】�ビ煽尚杏蛑�直线过点（1,0）时取得最大值1

12.【解析】
，由
，所以
。

13.【解析】因为函数
为奇函数，所以
，即
。所以
。

14.【解析】曲线
即
，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线
=4，即
，圆心（1，0）到直线的距离等于
，所以点A到直线
=4的距离的最小值是
。

15.【解析】连结PO，因为PD是⊙O的切线，P是切点，∠D=30°，所以∠POC=60°，

并且AO=2，∠POA=120°，PO=1

在△POA中，由余弦定理知，

三、解答题：

16. （本小题满分12分）

解：(1)f(x)

…………………………3分

…………………………4分

当
即
时，f(x)取最大值2；…………5分

当
即
时，f(x)取最小值-2…………6分

(2)由

， ………………………8分sj.fjjy.org

得
………………………10分

∴单调递减区间为
. ………………………12分

17（本小题满分12分）

解：解：设一次取次品记为事件A，由古典概型概率公式得：
……2 分

有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B，由独立重复试验得：
………4分

（2）依据知X的可能取值为1.2.3………5分

且
………6分
………7

………8分

则X的分布列如下表：

X

1

2

3



p









……10分

………12分

18（本小题满分14分）

解: （1）
-----2分

,所以
---4分

---6分

(2)取
的中点
,
---8分

是二面角

的平面角 ----------------------------10分

知

--------------------12分

即二面角
的余弦值为
---------------14分

解法二 （1）

所以

………………………………2分

建系
令

,

……………………..4分

因为平面PAB的法向量

…………..6分

(2) 设平面PAD的法向量为

,
…………8分

…………10分

令
所以
…………12分

平面PAB的法向量
……13分

，即二面角
的余弦值为
.................14分

说明：其他建系方法酌情给分

19（本小题满分14分）

（1） 当
时，
，由
，得
……………………1分

当
时，∵
，
， …………………2分

∴
，即
　sj.fjjy.org

∴
…………………………………………5分

∴
是以
为首项，
为公比的等比数列．…………………………………6分

故

　………………………
…………………7分

（2）
，
……………9分

…………………………………………11分

…13分

解方程
，得
…………………………………………14分

20（本小题满分14分）

解 （1）由题意知
设右焦点

………………2分

椭圆方程为
………………4分sj.fjjy.org

（2）设
则
①
②………………6分

②-①，可得
………………8分

（3）由题意
，设

直线
，即
代入椭圆方程并化简得

………………10分

同理
………………11分

当
时， 直线
的斜率

直线
的方程为

又
化简得
此时直线过定点（0，
）………13分

当
时，直线
即为
轴，也过点（0，
）

综上，直线过定点（0，
） ………………14分 21（本小题满分14分）

解 （1）当

……………1分

变化如下表















+

0

-

0

+





↗

极大值

↘

极小值

↗




，
……………4分

（2）令

则
………………………6分

上为增函数。
………………8分

…………………9分

（3）由（2）知

…………………10分

令
得，
…………12分

…………13分

…………14分