高三质量检测文科数学 2015.4

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1.已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2.若复数满足
是虚数单位），则的共轭复数所对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知
是不共线的三点，则“
”是“
是钝角三角形”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为　 　　　 　　　

A.
B.
C.
D.

5.若
,则函数

的两个零点分别位于区间

A.
和
内 B.
和
内

C.
和
内 D.
和
内

6.若不等式组
，所表示的平面区域被直线
分为面积相等的两部分，则
=

A.
B.
C.
D.

7.一个组合体的主视图和左视图相同，如右图，

其体积为
，则图中的为

A.　 B.
C.
D.

8.为实数，
表示不超过的最大整数，则函数

在上为

A.增函数 B.周期函数 C.奇函数 D.偶函数

9.双曲线
的离心率
，则以双曲线的两条渐近线与抛物线
的交点为顶点的三角形的面积为

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
，若
，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．

11.已知
的取值如下表：























从散点图分析，与线性相关，且回归方程为
，则实数的值为 .

12.若在
内任取一个实数，则使
与圆
无公共点的概率为 .

13.已知
中，设三个内角
所对的边长分别为
，且
,

则= .

14.设
为单位向量，非零向量
，若
的夹角为
，则
的最大值等于 ．

15.已知椭圆的左焦点为
，右焦点为
.若椭圆上存在一点，满足线段
相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段
的中点，则该椭圆的离心率为 ．

解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知
且
.

（Ⅰ）在
中，若
，求的大小；

（Ⅱ）若
，将
图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到
的图像，求
的单调减区间.

17.（本小题满分12分）

某区体育局组织篮球技能大赛,每名选手都要进行运球、传球、投篮三项比赛,每名选手在各项比赛中获得合格与不合格的机会相等,且互不影响．现有
六名选手参加比赛,体育局根据比赛成绩对前名选手进行表彰奖励．

（Ⅰ）求至少获得一个合格的概率；

（Ⅱ）求与只有一个受到表彰奖励的概率．

18.（本小题满分12分）

已知数列
是各项均为正数的等差数列，首项
，其前项和为
，数列
是等比数列，首项
，且
.

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）令
，其中
，求数列
的前
项和
.

19.(本小题满分12分)

已知四边形
满足
，
，是
的中点，将
沿着
翻折成
，使面
面
，
分别为

的中点.

（Ⅰ）求三棱锥
的体积；

（Ⅱ）证明：
∥平面
；

（Ⅲ）证明：平面
平面

20.（本小题满分13分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）设曲线
在
处的切线与直线
平行，求此切线方程；

（Ⅱ）当
时，令函数
，求函数
在定义域内的极值点；

（Ⅲ）令
，对
且
，都有
成立，求的取值范围.

21．（本小题满分14分）

已知椭圆
的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线
的准线，且经过点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

(Ⅱ)若直线
的方程为
.
是经过椭圆左焦点的任一弦，设直线
与直线
相交于点
，记
的斜率分别为
.试探索
之间有怎样的关系式？给出证明过程.

 高三文数学参考答案 2015.4

二、11.
12.
13.或 14.
15.

三、16.解：（Ⅰ）由题意
，

， ………2分

, ……… 4分

,
. ……… 6分

（Ⅱ）
，… 7分

由题意
， ……… 8分

由
，
，

得
，
……… 11分

的单调减区间
，
. ……… 12分

17. 解：（Ⅰ）记运球,传球,投篮合格分别记为
,不合格为

则参赛的所有可能的结果为

共
种, ……… 3分

由上可知至少获得一个合格对应的可能结果为
种, ……… 4分

所以至少获得一个合格的概率为
. ……… 6分

（Ⅱ）所有受到表彰奖励可能的结果为

,

,
,
共
个 ……… 8分

与只有一个受到表彰奖励的结果为
,

共
种 ……… 10分

则与只有一个受到表彰奖励的概率为
. ……… 12分

18.解:（Ⅰ）设
的公差为
，
的公比为，则
，

依题意有
， ………2分

解得：
或
（舍去）， ……… 4分

，
. ……… 6分

（Ⅱ）

， ……… 7分

令
①

②

①-②得：

……… 9分

， ……… 10分

. ……… 12分

19．解 (Ⅰ)由题意知，
且
,所以四边形
为平行四边形，
为等边三角形，

…………1分

连结
，则
，又平面
平面
交线

平面
且
………2分

……4分

(Ⅱ)连接
交
于
,连接
,∵
为菱形,且为
的中点,

∴
∥
, ………6分

又
面
,
平面
,∴
∥平面
………8分

(Ⅲ)连结
,则
,又
平面
.…10分

又
平面
,又
平面

∴平面
平面
.………12分

20.解:（Ⅰ）由题意知：
， ……… 1分

，
，切点为
……… 2分

此切线方程为
，即
. …… 3分

（Ⅱ）当
时，
，定义域为
，

……… 4分

当
时，
恒成立，
在
上为增函数，

在定义域内无极值； ……… 5分

当
时，令
，
或
（舍去），















-







极大值






的极大值点为
，无极小值点； ……… 7分

综上：当
时，
在定义域内无极值；

当
时，
的极大值点为
，无极小值点. …… 8分

（Ⅲ）
，对
且
，

，
，

即
，等价于
在
上为增函数， …… 9分

在
上恒成立，…… 10分

即
在
上恒成立， …… 11分

令
，只需
即可

在
上为增函数，

当
时，
， …… 12分

. …… 13分

21．解：

(Ⅰ）设
方程为
，因为抛物线
的准线