高三质量检测理科数学 2015.4

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1.已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2.若复数满足
是虚数单位），则的共轭复数所对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知
为不共线的三点，则“
”是“
是钝角三角形”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为　 　　 　　　

A.
B.
C.
D.

5.不等式
的解集是

A.
B.
C.
D.

6.设
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为，则
的图 象向右平移
后的表达式为

A.
B.
C.
D.

7.为实数，
表示不超过的最大整数，则函数
在上为

A.增函数 B.周期函数 C.奇函数 D.偶函数

8.已知棱长为
的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于

A.
B. C.
D.

9.已知点是双曲线
的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于
两点，若
是钝角，则该双曲线的离心率的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
，若
，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．

11.已知
的取值如下表：























从散点图分析，与线性相关，且回归方程为
，则实数的值为 .

12.若在
内任取一个实数，则使
与圆
无公共点的概率为 .

13.二项式
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是

.

14.设
为单位向量，非零向量
，若
的夹角为
，则
的最大值等于 ．

15.设抛物线
的焦点为，直线
过与
交于
两点，若
，则
的方程为 ．

解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

中
所对的边分别为
,
且
.

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若
求
的面积并判断
的形状.

17.（本小题满分12分）

盒子里装有大小相同的
个球，其中
个号球，
个号球，个
号球.

（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是
的概率；

（Ⅱ）若从盒子中一次取出个球，记取到球的号码和为随机变量
，求
的分布

列及期望.

18.（本小题满分12分）

已知数列
是各项均为正数的等差数列，首项
，其前项和为
，数列
是等比数列，首项
，且
.

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）令
，其中
，求数列
的前
项和
.

19.（本小题满分12分）

如图，在正三棱柱
中，
，
,
是
上的动点，且
,
是
的中点.

（Ⅰ）若
，求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若直线
与平面
所成角的大小为
，试求
的值.

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线
的准线，且经过点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

(Ⅱ)若直线
的方程为
.
是经过椭圆左焦点的任一弦，设直线
与直线
相交于点
，记
的斜率分别为
.试探索
之间有怎样的关系式？给出证明过程.

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）设
，求
的单调区间；

（Ⅱ）若对
，总有
成立.

（1）求的取值范围；

（2）证明：对于任意的正整数
，不等式

恒成立.

 高三理数学参考答案 2015.4

二、11.
12.
13.
14.
15.

三、16.解：（Ⅰ）
，

，…2分

, ……… 4分

,
. ……… 6分

（Ⅱ）由题意知
，
,

，
， ……… 8分

, ……… 10分

由
，得
，
，

为等边三角形. ……… 12分

17．解：（Ⅰ）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是
”为事件，……… 1分

则
……… 4分

（Ⅱ）
可能取的值是


， ……… 5分

, ……… 6分

, ……… 7分

， … 8分
. ……… 9分

∴
的分布列为：



























 ……… 10分

故所求的数学期望为
. ……… 12分

18.解:（Ⅰ）设
的公差为
，
的公比为，则
，

依题意有
， ………2分

解得：
或
（舍去）， ……… 4分

，
. ……… 6分

（Ⅱ）

， ……… 7分

令
①

②

①-②得：

……… 9分

， ……… 10分

. ……… 12分

19．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）证明：取
中点，连结
，则有
与
平行且相等.

∴四边形
为平行四边形，

……1分

∵
面
,
∴
,又
为等边三角形，
平面
平面
,…………3分

又
平面
,∴平面
平面
.……………4分

（Ⅱ）以
为轴，轴，在面
内以过点且垂直于
的射线为轴建系如图，

……6分

设
是平面
的一个法向量，则

∴
，令

∴
…………8分

设
与面
所成角为

则
………10分

,化简得

或

由题意知
， ∴
. …………………12分

20解：

(Ⅰ）设
方程为
，因为抛物线
的准线
，
…………1分

由
点在椭圆上，
………3分

∴椭圆C的方程为
. …………4分

(Ⅱ)由题意知，直线斜率存在.
设直线
的方程为
，代入
，得
， ……5分

设
由韦达定理得
. ……6分

由题意知

………8分

，代人
得

……10分

………12分

………13分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
，定义域为
，

， …… 1分

（1）当
时，令
，
，
，

令
，
；

（2）当
时，令
，则
或
，

令
，
； …… 3分

（3）当
时，
恒成立；

（4）当
时，令
，则