一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

2．在复平面内，复数
对应的点的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知函数
是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）

①
；②
；③
；④
．

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

4．已知向量
，
，若向量
满足
与
的夹角为
，

，则
（ ）

A．1 B．
C．2 D．

5．设
是公差不为零的等差数列，满足
，则该数列的

前项和等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 某同学想求斐波那契数列
（从第三项起每一项等于前两项的和）

的前
项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内

应分别填入的语句是（ ）

A．
；
B．
；
C．
；
D．
；

7．若不等式组
表示的平面区域是面积为
的三角形，则的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．是双曲线
的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若
，则的离心率是（ ）

A．
B． C．
D．

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A． B．
C．
D．

10．如图是函数
图像的一部分，对不同的
，

若
，有
，则（ ）

A．
在
上是减函数 B．
在
上是减函数

C．
在
上是增函数 D．
在
上是减函数

11．过抛物线
的焦点且斜率为的直线与
交于、两点，以
为直径的圆与
的准线有公共点
，若点
的纵坐标为，则的值为（ ）

A． B． C． D．

12．已知函数
在
的最小值为
，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．

13．
展开式中的常数项为 ．

14．、、
三点在同一球面上，
，

2，且球心O到平面
的距离为，

则此球
的体积为 ．

15．如图，在平面直角坐标系
中，将直线
与直线
及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积

．据此类比：将曲线
与直线
及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积
．

16．已知数列
满足
，
是其前项和，若
，且
，

则
的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在
中，角、、
的对边分别为、
、，且
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
，
，求
、的值．

18．（本小题满分12分）

根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在
，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为
，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．

（Ⅰ）求的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气

质量指数的平均值；

19．（本小题满分12分）

如图所示,在四棱柱
中,底面
是梯形,
,侧面
为菱形,

.

（Ⅰ）求证:
；

（Ⅱ）若
,点在平面
上的

射影恰为线段
的中点,求平面
与平面
所

成锐二面角的余弦值.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆E：
的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为
．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）过E的右焦点作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线
分别交于C、D两点，设△ACD与△AMN的面积分别记为
、
，求
的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，令
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于的不等式
恒成立，求整数的最小值；

（Ⅲ）若
，正实数
满足
，证明：
．

请考生在第22、23、24两题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

=如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB

于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，

交直线AF于点H．

（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；

（Ⅱ）若
，求△BDF外接圆的半径．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合．点A、B的极坐标分别为
、
（
），曲线
的参数方程为
为参数

（Ⅰ）若
，求
的面积；

（Ⅱ）设为
上任意一点，且点到直线
的最小值距离为，求的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若不等式
对任意
恒成立，求实数的取值范围．

理科数学参考答案

三、解答题

17．解析：（1）由正弦定理得

所以

因为
，故
，所以

（2）由
，得
，由条件
，
，

所以由余弦定理得
，解得

18．解析：(Ⅰ)由题意，得
解得

50个样本中空气质量指数的平均值为

由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6

（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在
内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则
.
的可能取值为0，1，2，

的分布列为：

0

1

2














.(或者
)，

故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为
天.

19．解析：

方法一：（1）因为侧面
为菱形，所以
，

又
，

所以

，从而
.

（2）设线段
的中点为
，连接
、
，由题意知
平面
.因为侧面
为菱形，所以
，故可分别以射线
、射线
、射线
为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系
，如图1所示.

设
，由
可知
，
，

所以
，从而
，
，
，

. 所以
.

由
可得
，所以
.

设平面
的一个法向量为
，由
，
，

得
取
，则
，
，所以
.

又平面
的法向量为
，所以
.

故平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.

方法二：（Ⅰ）连接
、
、
，设
交
于点
，

连
，如图2所示.

由
，
可得△
≌△
，

所以
.由于
是线段
的中点，所以
，

又根据菱形的性质
，所以
平面
，

从而
.

（Ⅱ）因为
，
，所以延长
、
交于点，

延长
、
交于点，且
，
.连接
，

则
.过点
作
的垂线交
于点
，交
于点
，

连接
，如图3所示.因为
，所以
.

由题意知
平面
，所以由三垂线定理得
，

故
是平面
与平面
所成二面角的平面角.

易知
，
，所以
.在
△
中，

，所以
.

故平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.

20．解析：（1）设
，则

，依题意有

又
，所以解得
故的方程为

（2）设直线
的方程为
，代入的方程得

设
，则

直线MA的方程为
，把
代入得
，同理

所以

所以
，

，令
，则
，

所以
，记
，则

所以
在
单调递增地，所以
的最小值为
，故
的最小值为

21．解析：⑴

由
得
又
所以
．所以
的单增区间为
.

（2）方法一：令

所以
．

当
时，因为
，所以
所以
在
上是递增函数，

又因为

所以关于的不等式
不能恒成立．

当
时，
．

令
得
，所以当
时，
当
时，
．

因此函数
在
是增函数，在
是减函数．

故函数
的最大值为

令
因为

又因为
在
上是减函数，所以当
时，
．

所以整数的最小值为2．

方法二：⑵