2015.4

第Ⅰ卷

选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝（ ）

A．[0,2] B．(1,3) C．[1,3) D．(1,4)

2．设z＝
，则z的共轭复数为（ ）

A．－1＋3 B．－1－3 C．1＋3 D．1－3

3．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量b在a方向上的投影为3，则实数m＝（ ）

A．2 B． C．0 D．－

5．函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是（ ）

A．f(x)＝x＋sinx B．f(x)＝

C．f(x)＝xcosx D．f(x)＝x(x－)(x－)

6. 在
中，角、的对边分别为、且
，
，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．某几何体的直观图如图所示，该几何体的正视图和侧视图可能正确的是（ ）

8．当m＝6，n＝3时，执行如图所示的程序框图，

输出的S值为（ ）

A．6 B．30

C．120 D．360

9．已知角
的终边经过点P(－4，3)，函数
(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
，则
的值为（ ）

A．
B.
C．－
D. －

10．已知双曲线
，过其左焦点作圆
的两条切线，切点记作，,原点为,
，其双曲线的离心率为（）

A．
B． C．
D．

11．已知直线
上存在点
满足
则实数的取值范围为（ ）

A．(-
，) B．[-
，] C．(-，
) D．[-，
]

12．已知函数
是定义域为的偶函数. 当
时，
，若关于的方程
（
）,有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题—第（21）题为必考题，每个考生都必须作答．第（22）题—第（24）题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．

14．若一个球的表面积为
，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为
．则两截面间的距离为________.

15．已知数列
的前项和为
，
，且满足
，则
_________.

16．设二次函数
(
为常数)的导函数为
．对任意
，不等式

恒成立，则
的最大值为________．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足b2＋c2＝bc＋a2.

（1）求角A的大小；

（2）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA＝1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn.

18.（本小题满分12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.

（1）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？

（2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下
列联表：

接受挑战

不接受挑战

合计



男性

 45

 15

 60



女性

 25

 15

 40



合计

 70

 30

 100



根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？

附：

0.100

0.050

0.010

0.001





2.706

3.841

6.635

10.828





19．（本小题满分12分）如图，四棱锥
中，
,
，侧面
为等边三角形，
.

（1）证明：平面
平面
；

（2）求点到平面SDC的距离.

20．（本小题满分12分）设抛物线C：
的准线被圆O：
所截得的弦长为
，

（1）求抛物线C的方程;

（2）设点F是抛物线C的焦点，N为抛物线C上的一动点，过N作抛物线C的切线交圆O于P、Q两点，求
面积的最大值.

21．（本小题满分12分）设函数
，其图象在点
处切线的斜率为
．

（1）求函数
的单调区间（用只含有的式子表示）；

（2）当
时，令
，设
，

是函数
的两个根，
是
，
的等差中项，求证：
（
为函数
的导函数）．

请考生从22、23、24题中任选一题作答；如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知
(
)的外接圆为圆
，过的切线
交
于点
，过
作直线交
于点
，且

（1）求证：
平分角
；

（2）若
，求
的值．

23．(本小题满分10分)选修4—5：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

（1）把
的参数方程化为极坐标方程；

（2）求
与
交点的极坐标（
.

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数
，
。

（1）当
时，解不等式
；

（2）若存在
，使得
成立，求实数的取值范围．

高三年级数学（文）答案

∴an＝2n.(10分) ∴＝＝－.(11分)

∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.(12分)

18.解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为
，则
分别表示这3个人不接受挑战．

这3个人参与该项活动的可能结果为：
，
，
，
，
，
，
，
．共有8种； (2分)

其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：
，
，
，
，共有4种. ( 4分) 根据古典概型的概率公式，所求的概率为
. (6分)

（说明：若学生先设“用
中的
依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成
,
,
，
,
,
,

,
，不扣分．）

（Ⅱ）根据
列联表，得到
的观测值为：

． (10分)

（说明：表示成
不扣分）．

因为
，所以没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”． (12分)

19.解： (1)如图取
中点，连结
、
，依题意四边形
为矩形，

，

侧面SAB为等边三角形，
则
，(2分）

且
，而

满足
，
为直角三角形，即
，（4分）

平面
，（5分） 平面
平面
；（6分）

(2) 由（1）可知
平面
，则
，

，
平面
，
，

（8分）

由题意可知四边形
为梯形，且
为高，所以
（9分）

设点到平面
的距离为
，由于
，则有

，（10分）

,因此点到平面
的距离为
.（12分）

20.（1）因为抛物线C的准线方程为
，且直线
被圆O：
所截得的弦长为
，所以
，解得
，因此抛物线C的方程为
；（4分）

（2）设N（
），由于
知直线PQ的方程为：
. 即
.

（6分）

因为圆心O到直线PQ的距离为
，所以|PQ|=
,（7分）

设点F到直线PQ的距离为d，则
，（ 8分）

所以，
的面积S

（11分）

当
时取到“=”，经检验此时直线PQ与圆O相交，满足题意.综上可知，
的面积的最大值为
.（12分）

21.解;（1）函数
的定义域为
．

，则
，即
．

于是
． （2分）

当
时，
，
在
上是单调减函

当
时，令
，得
（负舍），

所以
在
上是单调减函数，在
上是单调增函数；

③ 当
时，若
，则
恒成立，
在
上单调减函数；

若
，令
，得
（负舍），

所以
在
上单调增函数，在
上