河北省唐山市2017届高三年级摸底考试

文科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知向量
，若
，则
（ ）

A．-2 B．
C．2 D．

2.已知集合
，则满足条件的集合
的个数是（ ）

A．8 B．7 C．4 D．3

3.在等比数列
中，
，则
（ ）

A．255 B．256 C．511 D．512

4.设函数
，“
是偶函数”是“
的图象关于原点对称”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 要得到函数
的图像，只需将函数
的图像（ ）

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

6.若
满足约束条件
则目标函数
的最小值为（ ）

A．3 B．0 C．-3 D．-5

7.已知
是双曲线
的两个焦点，
在双曲线上，且满足
，则
的面积为（ ）

A．1 B．
C．2 D．

8.执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的
（ ）

A．1.25 B．1.375 C．1.40625 D． 1.4375

9.设
是方程
的解，则
所在的范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）

A．
B．3 C．
D．

11.在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
分别是棱
的中点，则过
的平面分别交直线
于
两点，则
（ ）

A．6 B．4 C．3 D．2

12.设函数
，若存在唯一的正整数
，使得
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13.已知向量
，则
___________．

14.在
的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是__________．

15.已知抛物线
与圆
有公共点
，若抛物线在
点处的切线与圆
也相切，则
_________．

16.一艘海监船在某海域实施巡航监视，由
岛向正北方向行驶80海里至
处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至
处，再沿南偏东30°方向行驶
海里至
岛，则
两岛之间距离是 _________海里．

三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.其中（17）--（21）题必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

设
为等差数列
的前
项和，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，求数列
的前
项和
．

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
底面
为等边三角形，
，
为
的中点．

（1）求
；

（2）求平面
与平面
所成二面角的正弦值．

19.（本小题满分12分）

甲将要参加某决赛，赛前
四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知
选择甲的概率均为
，
选择甲的概率均为
，且四人同时选择甲的概率为
，四人均未选择甲的概率为
．

（1）求
的值；

（2）设四位同学中选择甲的人数为
，求
的分布列和数学期望．

20.（本小题满分12分）

如图，过椭圆
上一点
向
轴作垂线，垂足为左焦点
，
分别为
的右顶点，上顶点，且
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）过原点
做斜率为
的直线，交
于
两点，求四边形
面积
的最大值．

21.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）讨论
的单调性；

（2）若函数
的两个零点为
，证明：
．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
与
都是以
为斜边的直角三角形，
为线段
上一点，
平分
，且
．

（1）证明：
四点共圆，且
为圆心；

（2）
与
相交于点
，若
，求
之间的距离．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
．矩形
内接于曲线
，
两点的极坐标分别为
和
．将曲线
上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线
．

（1）写出
的直角坐标及曲线
的参数方程；

（2）设
为
上任意一点，求
的取值范围．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（1）若
，求
的最小值，并指出此时
的取值范围；

（2）若
，求
的取值范围．

唐山市2016—2017学年度高三年级摸底考试

文科数学参考答案

选择题：

A卷： BDCBA CACDB CB

B卷： BACBD CADDA CB

二、填空题：

（13）2 （14） （15） （16）7

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）设公差为d，依题意有



解得，a1＝d＝2．

所以，an＝2n． …6分

（Ⅱ）bn＝＋－2＝＋－2＝－，

Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝． …12分

（18）解：

∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，

又∵BC⊥PB，PB∩PA＝P，

∴BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，

∴BC⊥AB．

∵△BCD为等边三角形，AB＝AD，

∴∠ACB＝30°，又Rt△ACB中，AC＝4．

∴AB＝ACsin30°＝2．

…6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PB＝PD＝BD＝BC＝CD＝2，

∴S△PBD＝S△BCD．

设点E到平面PBD的距离为h，

∵E为PC中点，

∴点C到平面PBD的距离为2h．

由VC-PBD＝VP-BCD得S△PBD·2h＝S△BCD·PA，

解得h＝． …12分

（19）解：

（Ⅰ）由频率分布直方图可知，数学成绩在内的频率分别为0.1，0.4，0.3，0.2．

∴成绩在内的人数之比为1∶4∶3∶2，

∴采用分层抽样的方式抽取一个容量为10的样本，成绩在内所抽取的人数分别为1，4，3，2． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从两组抽取人数分别为3人和2人，

记从中抽取的2人分别为B1，B2．从这5个人中任取2人，有

{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共计10种等可能的结果，

其中恰有1人成绩在． …10分

（24）解：

（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|＋|x－1|≥|(x＋1)－(x－1)|＝2，

当且仅当(x＋1)(x－1)≤0时取等号．

故f(x)的最小值为2，此时x的取值范围是． …5分

（Ⅱ）x≤0时，f(x)≥2x显然成立，所以此时m∈R；

x＞0时，由f(x)＝x＋1＋|mx－1|≥2x得|mx－1|≥x－1．

由y＝|mx－1|及y＝x－1的图象可得|m|≥1且≤1，

解得m≥1，或m≤－1．

综上所述，m的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞)． …10分

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/