河北省唐山市2017届高三年级摸底考试

理科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合
，且
，则满足条件的集合
的个数是（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

2.已知复数满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为
，若成绩大于等于90分的人数为36，则成绩在
的人数为（ ）

A．12 B．9 C．15 D．18

4.设函数
，“
是偶函数”是“
的图象关于原点对称”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5.设
是双曲线
的两个焦点，
在双曲线上，且
，则
的面积为（ ）

A．1 B．2 C．
D．

6.要得到函数
的图像，只需将函数
的图像（ ）

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

7.执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的
（ ）

A．1.25 B．1.375 C．1.4375 D．1.40625

8.设
是方程
的解，则
所在的范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．3 D．

10.把长为
的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于
的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
分别是棱
的中点，则过
的平面截四棱锥
所得截面面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.设函数
，若存在唯一的正整数
，使得
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13.已知复数
满足
，则
___________．

14.若
，则
__________．

15.已知抛物线
与圆
有公共点
，若抛物线在
点处的切线与圆
也相切，则
_________．

16.如图，在平面四边形
中，
，
，则
_________．

三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.其中（17）--（21）题必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

设
为等差数列
的前
项和，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，求数列
的前
项和
．

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
底面
与平面
所成角的正切值为
，
为等边三角形，
为
的中点．

（1）求
；

（2）求点
到平面
的距离．

19.（本小题满分12分）

某班一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为
，已知成绩大于等于90分的人数为36人，现采用分层抽样的方式抽取一个容量为10的样本．

（1）求每个分组所抽取的学生人数；

（2）从数学成绩在
的样本中任取2人，求恰有1人成绩在
的概率．

20.（本小题满分12分）

如图，过椭圆
上一点
向
轴作垂线，垂足为左焦点
，
分别为
的右顶点，上顶点，且
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）
为
上的两点，若四边形
（
逆时针排列）的对角线
所在直线的斜率为1，求四边形
面积
的最大值．

21.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）求
的最小值；

（2）若方程
有两个根
，证明：
．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
与
都是以
为斜边的直角三角形，
为线段
上一点，
平分
，且
．

（1）证明：
四点共圆，且
为圆心；

（2）
与
相交于点
，若
，求
之间的距离．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
．矩形
内接于曲线
，
两点的极坐标分别为
和
．将曲线
上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线
．

（1）写出
的直角坐标及曲线
的参数方程；

（2）设
为
上任意一点，求
的取值范围．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（1）若
，求
的最小值，并指出此时
的取值范围；

（2）若
，求
的取值范围．

唐山市2016—2017学年度高三年级摸底考试

理科数学参考答案

选择题：

A卷： BCABA DCBDA CA

B卷： CCBBA DCBDD CA

二、填空题：

（13）； （14）14； （15）； （16）70．

三、解答题：

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设公差为d，依题意有



解得，a1＝d＝2．

所以，an＝2n． …6分

（Ⅱ）bn＝＋＝＋＝－＋2，

Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＋2n＝＋2n． …12分

（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）连AC，

因为△BCD为等边三角形，所以∠ABD＝30°．

又已知AB＝AD，BD＝，可得AB＝1． …5分

（Ⅱ）分别以BC，BA所在直线为x，y轴，

过B且平行PA的直线为z轴建立空间直角坐标系．P(0，1，)，C(，0，0)，E(，，)，D(，，0)．

由题意可知平面PAB的法向量为m＝(1，0，0)．

设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，则即

则n＝(3，－，－2)．

cos?m，n?＝＝．

所以平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值． …12分

（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知可得：

解得：

（Ⅱ）X可取0，1，2，3，4． …5分

P(X＝0)＝，

P(X＝1)＝C××(1－)×(1－)2＋(1－)2×C××(1－)＝，

P(X＝2)＝C××(1－)×C××(1－)＋()2×(1－)2＋(1－)2×(1－)2＝，

P(X＝3)＝C××(1－)×()2＋()2×C××(1－)＝，

P(X＝4)＝．

X的分布列为

X

0

1

2

3

4



P













E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.2 …12分

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设焦距为2c，则P(－c, )．

由AB∥OP得＝，则b＝c，a＝c，

则|AF|＝a＋c＝(＋1)c，又|AF|＝＋1，

则c＝1，b＝1，a＝，椭圆E的方程为＋y2＝1. …4分

（Ⅱ）CD：y＝kx，设C(x1,y1)，D(x2,y2),到AB的距离分别为d1，d2，

将y＝kx代入＋y2＝1得x2＝，则x1＝，x2＝－．

由A(,0)，B(0,1)得|AB|＝,且AB：x＋y－＝0，

d1＝,d2＝－，

S＝|AB|(d1＋d2)＝

＝(1＋k)(x1－x2)＝，

S2＝2(1＋)，因为1＋2k2≥2k，当且仅当2k2＝1时取等号，

所以当k＝时，四边形ACBD的面积S取得最大值2． …12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f?(x)＝－＝，（x＞0）

所以当a≤0时，f?(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a＞0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． …5分

（Ⅱ）若函数y＝f(x)的两个零点为x1，x2（x1＜x2），由（Ⅰ）可得0＜x1＜a＜x2．

令g(x)＝f(x)－f(2a－x)，（0＜x＜a）

则g?(x)＝f?(x)＋f?(2a－x)＝(x－a)[－]＜0，

所以g(x)在(0，a)上单调递减，g(x)＞g(a)＝0，

即f(x)＞f(2a－x)．

令x＝x1＜a，则f(x1)＞f(2a－x1)，所以f(x2)＝f(x1)＞f(2a－x1)，

由（Ⅰ）可得f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以x2＞2a－x1，

故x1＋x2＞2a． …12分

（22）（本小题满分10分）

解：

（Ⅰ）因为△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，

所以A，B，C，D四点都在以AB为直径的圆上．

因为BD平分∠ABC，且OD∥BC，

所以∠OBD＝∠CBD＝∠ODB，OB＝OD．

又∠OAD＋∠OBD＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°，

所以∠OAD＝∠ODA，OA＝OD．

所以OA＝OB，O是AB的中点，O为圆心． …5分

（Ⅱ）由BC＝2CF＝6，得BF＝3,

由Rt△ADF∽Rt△BCF得＝＝2．

设AD＝2DF＝2x，则AF＝x，由BD平分∠ABC得＝＝2，

所以＝2，解得x＝，即AD＝2．

连CD，由（Ⅰ），CD＝AD＝2． …10分

（23）（本小题满分10分）

解：

（Ⅰ）由A(,1)、B(－,1)得C(－,－1)、D(,－1)；

曲线C2的参数方程为（θ为参数）． …4分

（Ⅱ