定州中学2016-2017学年第一学期高三第一次月考数学试题

一、选择题

1．已知向量
，则
等于( )

A．
B. 3 C.
　　 D.

2．已知△
的外接圆半径为
，角
、
、
的对边分别为
、
、
且
那么角
的大小为 （ ）

A．
B.
C.
D.

3．（原创题）

已知
是曲线
上一点，
是该曲线的两个焦点，若
内角平分线的交点到三边上的距离为1，，则
的值为

A、
B、
C、－
D、

4．已知等差数列
的公差为
，前
项和为
，若
，则下列命题错误的是

A．
B．

C．
中的最大项为
D．

5．直线
的斜率是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为（ ）

A．
B．1 C．
D．

7．数列{
}通项
,若
,则x的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

8．已知六棱锥
的底面是正六边形，

平面
.则下列结论不正确的是

（A）
平面

（B）

平面

（C）
平面

（D）

平面

9．曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为（ ）

A．x2+(y+2)2=4???????? B． x2+(y-2)2=4

C．(x-2)2+y2=4????????? D．(x+2)2+y2=4

10．现有4名男生和4名女生排成一排，且男生和女生逐一相间的排法共有（ ）

A．
B．
C．
D．

11．设a,b是两个实数，且a≠b，①
②
，③
。上述三个式子恒成立的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

12．定义函数
，若存在常数
，对任意
，存在唯一
的，使得
，则称函数
在
上的均值为
，已知
，则函数
在
上的均值为。（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题

13．函数y=
的单调递增区间是 .

14．经过点
且与直线
垂直的直线方程为

15．已知函数
，若
在
上的最大值为
，则实数
的值是 ．

16．在
中，已知
，三角形面积为12，则
________．

三、解答题

17．已知
是首项为19，公差为-2的等差数列，
为
的前n项和。

（Ⅰ）求通项
及
；

（Ⅱ）设
是首项为1，公比为3的等比数列，求数列
的通项公式及其前n项和

18．（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）设
，求
的单调区间；

（Ⅱ） 设
，且对于任意
，
．试比较
与
的大小．

19．已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期和单调增区间；

（2）已知
的三个内角
，
，
的对边分别为
，
，
，其中
，若锐角
满足
，且
，求
的值．

20．(14分) 已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．（1）类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义；（2） 已知数列
是等和数列，且
，公和为
，求
的值，并猜出这个数列的通项公式(不要求证明)。

21．已知直线
平行于直线
，并且与两坐轴围成的三角形的面积为
求直线
的方程。

22．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球， 乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（1）求取出的4个球均为黑球的概率；

（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（3）设
为取出的4个球中红球的个数，求
的分布列和数学期望

23．已知曲线C的极坐标方程为
=2,以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，P是曲线C上的动点，点A（2，0），M是线段AP的中点．

（1）求点M轨迹的直角坐标方程；

（2）求证：点M到点E（
，0）、F（3、0）的距离之比是常数．

24．某客运公司用
、
两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务，每车每天往返一次．
、
两种型号的车辆的载客量分别是32人和48人，从甲地到乙地的营运成本依次为1500元/辆和2000元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的车队，并要求
种型号的车不多于
种型号的车5辆．若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于800人，为使公司从甲地到乙地的营运成本最小，应配备
、
两种型号的车各多少辆？并求出最小营运成本．

参考答案

1．A

2．C

3．B

4．C

5．D

6．B

7．C

8．D

9．B

10．D

11．B.

12．D

13．

14．x+2y=0

15．

16．

17．（1）a
=-2n+21 S
=-n
+20n（2）b
=3
-2n+21 T
=-n
+20n+

18．（Ⅰ）当
，
时，函数
的单调递减区间是
，当
，
时，函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
，当
时，函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
；（Ⅱ）
．

（Ⅰ）函数定义域为
，求出导函数
，由于
，分两种情况，
和
，
时，
，当
时，
恒成立，当
时，
的解为
，可得单调区间，当
时，
有两根，可得
（或
）的解集，即单调区间；（Ⅱ）由已知得
是
的极小值，由（1）得
，即
，因此问题为比较
与
的大小，为此研究函数
，通过导数得
绵最大值为
且
，因此得
．

19．（1）
，

；（2）
.

解：（1）

，所以
最小正周期为
，由

得单调递增区间是

；

（2） 由
，

又∵
为锐角，∴
，由正弦定理可得
，
，则
，由余弦定理可知，
，

可求得
．

20．解（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和（2）
；

21．

22．（1）
；（2）
；（3）分布列（略），
.

（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件
，

“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件
．

由于事件
相互独立，且
，
． 2分

故取出的4个球均为黑球的概率为
． 4分

（2） 设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件
，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件
．则

，
． 6分

由于事件
互斥，故取出的4个球中恰有1个红球的概率为

． 8分

（3）
可能的取值为
．

由（1），（2）得
，
，
．

从而
．

的分布列为

0

1

2

3

















的数学期望
． 12分

23．（1）
；（2）证明详见解析．

（Ⅰ）曲线
的参数方程为
，设
，

则
，即
； 5分

（Ⅱ）设
，

则
． 10分

24．备
型号7辆、
型号车12辆，最小营运成本为3.45万元

设应配备
种型号的车
辆、
种型号的车
辆，营运成本为
元．

则有
即

目标函数为
．

如图，作出不等式组所表示的可行域，

把
，变形为
，

其中
是这条直线在
轴上的截距．

当直线
经过可行域上
点时，截距
最小，即
最小，

解方程组
得
点的坐标为
．

所以
．

答：应配备
型号7辆、
型号车12辆，最小营运成本为3.45万元．

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