2016-2017高三九月月考

数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．如果复数
是实数，则实数
( )

A.
????? B.?
C.?
?? D.

3．已知过点
总存在直线l与圆C：
依次交于A、B两点，使得对平面内任一点Q都满足
，则实数m的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 在
中，角
所对的边分别为
,若
，
，
，则角
的大小为( )

A．
B．
C．
D．

5. 如图，设
是图中边长为
的正方形区域，
是
内函数
图象下方的点构成的区域。在
中随机取一点，则该点在
中的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的

点落在坐标轴上的个数是（ ）

A.0 B. 1 C. 2 D. 3

7．在
中,
，
,点
在
上且满足
,则
等于( )

A．
B．
C．
D．

8. 函数
（
）
的部分图像如图所示，如果
，且
，则
（ ）

A．
　 B．
C．
D．1

9. 如图，正方体
的棱长为1，过点
作平面
的垂线，垂足

为
．则以下命题中，错误的命题是（ ）

A．点
是
的垂心 B．
垂直平面

C．
的延长线经过点
D．直线
和
所成角为

10. 若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是( )

11．函数
为定义在
上的减函数，函数
的图像关于点（1,0）对称，
满足不等式
，
，
为坐标原点，则当
时，

的取值范围为 （ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，把函数
的零点按从小到大的顺序排

列成一个数列，则该数列的前n项的和
,则
＝（ ）

A．15 B．22 C．45 D． 50

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分。）

13.直线
相切于点（2，3），则b的值为 。

14.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角

形，则该三棱锥的外接球的体积为_______________.

15.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、

乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言

时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 .

16.设
，
，…，
是各项不为零的
（
）项等差数列，且公差
．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数

对
所组成的集合为________．

三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17.（本小题满分12分）在
中，
，
，
分别是三内角A，B，C所对的三边，已知
．（1）求角A的大小；（2）若
，试判断
的形状．

18.（本小题满分12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对 “楼市限购令”赞成人数如下表．

月收入（单位百元）

[15,25

[25，35

[35，45

[45，55

[55，65

[65,75



频数

5

10

15

10

5

5



赞成人数

4

8

12

5

2

1



（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异；

月收入不低于55百元的人数

月收入低于55百元的人数

合计



赞成









不赞成









合计









（Ⅱ)若对月收入在[15，25） ，[25，35）的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为
，求随机变量
的分布列及数学期望.

参考数据：

0.050

0.010

0.001





3.841

6.635

10.828





19.（本小题满分12分）如图，几何体
中，四边形
为菱形，

，
，面
∥面
,
、

、
都垂直于面
,且
，
为
的

中点，
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
为等腰直角三角形；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

20.（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，

(I)当λ=
时,求证AB1丄平面A1BD;

(II)当二面角A—A1D—B的大小为
-时,求实数λ的值.

21.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）当
时，求
在区间
上的最大值和最小值；

（2）如果函数
，
，
，在公共定义域D上，满足
，那么就称为
为
的“活动函数”．已知函数
，
．若在区间
上，函数
是
，
的“活动函数”，求
的取值范围。

22. （本小题满分10分） 在直角坐标系
中，曲线C的参数方程为
为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为
.

（Ⅰ）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|.

2016—2017高三九月月考数学答案

一、选择题

1.【答案】D 试题分析：
，
，所以

，选D。

2．【答案】A试题分析：
是实数，则虚部
为 0，所以
，选A

3．【答案】D4.【答案】B

试题分析：由
得
，即
，因为
，所以
，又因为
，
，所以在
中，由正弦定理得：
，解得
，又
，所以
，所以
。

5.【答案】C试题分析：
，所以
，选C。

6.【答案】B

7．【答案】D试题分析：由题意易知：M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，因为
，所以
，
，所以
=
。故选D.

8.【答案】C试题分析：由图像可知
代入
得

9.【答案】D

10. 【答案】B【解析】曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，图象为圆心为(1，0)，半径为1的圆；曲线C2：y＝0，或者y－mx－m＝0，直线y－mx－m＝0恒过定点(－1，0)，即曲线C2图象为x轴与恒过定点(－1，0)的两条直线．作图分析：k1＝tan 30°＝
，k2＝－tan 30°＝－
，

又直线l1(或直线l2)、x轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m＝k∈

11． 【答案】D

试题分析：因为函数
的图像关于点（1,0）对称，所以

的图象关于原点对称，即函数
为奇函数，

由
得

，

所以
，

所以
，即
，

画出可行域如图，可得
=x+2y∈[0，12]．故选D．

12．【答案】C

试题分析：根据函数的解析式，画出图像，由图像易知这10 个零点为0,1,2,3，……，9，所以
＝45.

二．填空题：

13.【答案】—15 14．【答案】

15.【答案】600

试题分析：甲、乙两名同学只有一人参加时，有
=480；甲、乙两人均参加时，有
=120。共有600种。

16. 【答案】
满足题意的数列只能有4项，若删掉
，则
，
，若删掉
，则
，
，所以所有数对
所组成的集合为

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

解析：（1）
，所以
，得到
…4分

（2）∵
∵
∴
，……6分

即
，得到
，………8分

为等边三角形 ………12分

（18）（本小题满分12分）

【解析】(I)先列出
列联表

然后利用公式
,计算出
值,再根据k值是否大于6.635,来确定是不是有没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.

(II)先确定
所有可能取值有0,1,2,3,然后求出每个值对应的概率,列出分布列,求出期望值.

（Ⅰ）2乘2列联表

月收入不低于55百元人数

月收入低于55百元人数

合计



赞成





32



不赞成





18



合计

10

40

50





所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.…（6分）

（Ⅱ）
所有可能取值有0, 1,2,3，
，

所以
的分布列是

0

1

2

3















所以
的期望值是
. ………（12分）

（19）（本小题满分12分）

解：（I）连接
，交
于
，因为四边形
为菱形，
，所以

因为
、
都垂直于面
,

，又面
∥面
,

所以四边形
为平行四边形 ,则
……2分

因为
、
、
都垂直于面
,则

…4分

所以

所以
为等腰直角三角形 ……………5分

（II）取
的中点
，因为
分别为
的中点，所以
∥

以
分别为
轴建立坐标系，

则

所以
……………7分

设面
的法向量为
，

则
，即
且

令
，则
………………9分

设面
的法向量为
，

则
即
且

令
，则
……………11分

则
,则二面角
的余弦值为
…………12分

20.解：（Ⅰ）取
的中点为
，连结
在正三棱柱
中面
面
，

为正三角形，所以
， 故
平面
．

以
为坐标原点建立如图空间直角坐标系
，――2分

则
，
，
，
，
．

所以
，
，
，

因为
，

所以
，又
，

所以
平面
．―――－6分

（Ⅱ）由⑴得
，所以
，
，
，

设平面
的法向量
，平面
的法向量
，

由
得平面
的一个法向量为
，

同理可得平面
的一个法向量
，

由
，解得
，为所求．――――12分

（21）（本小题满分12分）

解：（1）当
时，
，
；

对于
[1, e]，有
，∴
在区间[1, e]上为增函数

∴
，
．…………… 3 分

（2）在区间（1，+∞）上，函数
是
的“活动函数”，则

令

，对
恒成立，

且
=

对
恒成立，……………… 5分

∵

（*）

1)若
，令
，得极值点
，
，

当
，即
时，在（
，+∞）上有
，此时
在区间（
，+∞）上是增函数，并且在该区间上有
∈（
，+∞），不合题意；

当
，即
时，同理可知，
在区间（1，+∞）上，有
∈（
，+∞），也不合题意； 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 7分

2） 若
，则有
，此时在区间（1，+∞）上恒有
，从而
在区间（1，+∞）上是减函数；要使
在此区间上恒成立，只须满足

，

所以

a

．。。。。。。。。 9分

又因为h/（x）= –x+2a–
=
<0, h（x）在（1, +∞）上为减函数，

h（x）

另解：（接在（*）号后）先考虑h（x）, h`（x） = – x + 2a
=
,

h（x）在（1,+(）递减，只要h（1） ( 0, 得
，解得
．。。。。。8分

而p`（x）=
对x(（1,+(） 且
有p`（x） <0．

只要p（1） ( 0,
，解得
,所以．
。。。。。。。。12分

23. 【解析】（Ⅰ）曲线
的普通方程为
，曲线
的直角坐标方程为
． …………5分

（Ⅱ）曲线
可化为
，表示圆心在