沧州市2017届高三9月教学质量监测联考

数学（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集
，集合
，（ ）

A．
B．
C．
D．

2.设复数
（
为虚数单位），则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.将函数
的图像向左平移
个单位，所得函数图像的一条对称轴方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.正方体
的顶点都在同一球面上，且此球体积为
，则正方体的体积为（ ）

A．
B．
C．8 D．27

5.已知抛物线
的准线经过点
，则抛物线的焦点坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.已知点
在圆
的外部，则
与
的位置关系是（ ）

A．相切 B．相离 C．内含 D．相交

7. 下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知函数
，在区间
上任取一点，则使
的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）

A．2 B．
C．
D．1

10.已知函数
，则下列函数中与
是同一个函数的是（ ）

A．
B．

C．
D．

11.在
中，角
所对的边分别是
，已知
，
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
是定义在
上的单调函数，且对任意的
都有
，若动点
满足等式
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量
满足
，记向量
的夹角为
，则
__________．

14.若变量
满足约束条件
，则
的最小值为_______________

15.在
中，角
所对的边分别为
，且
，则
的面积是_______________．

16.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_______________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

设等差数列
的前
项和为
．且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，求数列
的前
项和
．

18.（本小题满分12分）

为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题．

分组

频数

频率





5















35







25







15





合计

100







（Ⅰ）求
的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；

（Ⅱ）按成绩采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；

（Ⅲ）在第（Ⅱ）问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人，求至少一人的成绩在
的概率．

19.（本小题12分）

如图，四棱锥
中，
底面
，底面
为直角梯形，
，
为
中点，
．

（Ⅰ）求证：
底面
；

（Ⅱ）求四棱锥
的体积．

20.（本小题12分）

已知动圆
（
为圆心）经过点
，并且与圆
相切．

（Ⅰ）求点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）经过点
的直线
与曲线
相交于点
，
，并且
，求直线
的方程．

21.（本小题满分12分）

已知
．

（Ⅰ）讨论
的单调性；

（Ⅱ）当
时，记
，已知
有三个极值点，求
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，过圆内接四边形
的顶点
引切线
为圆的直径．

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）已知
为线段
上一点，满足
，
，求证：
．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，倾斜角为
的直线
的参数方程为
（
为参数）．．

（Ⅰ）以坐标原点
为极点，
轴非负半轴为极轴建立极坐标系（与平面直角坐标系的单位长度相同），当
时，求直线
的极坐标方程；

（Ⅱ）已知点
，直线
与椭圆
相交于点
、
，求
的取值范围．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，
．

（Ⅰ）当
时，解不等式：
；

（Ⅱ）若关于
的不等式
的解集为
，求证：
．

沧州市普通高中2016年9月高三教学质量监测

数学（文科）参考答案

一、选择题

1.B 2.A 3.B 4.C 5.A 6.D 7.A 8.B 9.D 10.C 11.D 12.C

12．解析：因为对任意的
都有
，

令
，∴
，∴
．

令
，∴
，∴
，该函数为奇函数．

∵
．

∴
．

∵
是定义在
上的单调函数．

∴
，即
．

整理，得
．

令
，

∴
，∴
，故选C．

二、填空题

13.1 14.2 15.
16.甲

15．解析：∵
，

∴
，

由正弦定理得
．

展开整理得
．

移项：
．

∴
，∴
．

∴
，∵
，∴
，该三角形为直角三角形．

若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．

若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．

三、解答题

17.（本小题满分12分）．

（Ⅰ）解：设等差数列
的公差为
，由题意，得
，………………2分

解得
，……………………………………………………………………4分

所以
；……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵
，………………………………………………………………8分

∴

…………………………………………………………………………………12分

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，…………………………………………………………………………2分

由频率分布表可得所求的概率为
．…………………………………………4分

（Ⅱ）按成绩分层抽样抽取20人时，优秀生应抽取8人．…………………………………………6分

（Ⅲ）8人中，5人成绩在
，3人成绩在
，从8个人中选2个人，结果共有28种，其中至少有一人成绩在
的情况有两种：可能有1人成绩在
，也可能有2人成绩在
，所以共有
种，∴
．……………………………………………………12分

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵
底面
，∴
．…………………………………………………………2分

∵
，∴
底面
．……………………………………………………………………4分

∵
为
中点，
，∴
平行且等于
，∴
为平行四边形，∴
，∴
底面
．………………………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵
．…………………………………………12分

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设
为所求曲线上任意一点，并且
与
相切于点
，则
．

所以点
的轨迹方程为
；…………………………………………………………………4分

（Ⅱ）经检验，当直线
轴时，题目条件不成立，所以直线
存在斜率，设直线
．设
，
，则

，………………………………………………………………6分

，得
．

……①，
……②，……………………………………………………8分

又由
，得
，………………………………………………………………………10分

将它代入①，②得
，
（满足
），

所以直线
的斜率为
，所以直线
的方程为
．…………………………………………12