考试时间：120分钟 总分：160分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题纸相应位置上．

1．
的值为 ；

2．若
，则角的终边在第 象限；

3．函数
的最小正周期是 ；

4．已知为第四象限的角，且
= ；

5．若向量
且的坐标为
，则的坐标为 ；

6．已知扇形的中心角为
，半径为
，则此扇形的面积为 ；

7．已知向量
，
满足：
，
，
，则
与
的夹角是 ；

8．已知
，
，
，
，且
∥
，则
＝ ；

9．
的值是 ；

10．已知函数
的部分

图象如图所示，则函数的解析式为 ；

11．将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，若
在
上为增函数，则的最大值是 ；

12． 在
中，
，
，在斜边
上，且
，则
的值为 ；

13．已知
；

14．
外接圆的半径为，圆心为
，且
，
，则
．

二．解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本题满分14分）

设向量
．

(1)求证：
；

(2)若向量
与向量
共线，求实数
的值．

16．（本题满分14分）

如图，在平面直角坐标系中，以
轴为始边作两锐角
，它们终边分别与单位圆交于
两点，且
横坐标分别为
．

（1）求
；

（2）求
的值．

17．（本小题满分14分）

已知
，
，
。

（1）若
，且
，求
与
夹角的大小；

（2）若
，求
。

18． (本小题满分16分)

已知函数
.

（1）将函数
化为
形式；

（2）是否存在
，使得
，若存在，求出，若不存在，说明理由；

（3）当
时，讨论
的图象与
（为常数）的图象交点的个数．

19．（本小题满分16分）

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池
的池底水平铺设污水净化管道
，
是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口
是
的中点，
分别落在线段
上．已知
米，
米，记
．

（1）试将污水净化管道的长度表示为
的函数,并写出定义域；

（2）若
，求此时管道的长度；

（3）问：当
取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

20．（本题满分16分）

若定义在上的函数
对任意的
，都有
成立，且当
时，
．

(1)求
的值；

（2）求证：
是上的增函数；

　 (3) 若
，不等式
对任意的
恒成立，求实数的取值范围．

2012—2013学年度第二学期期中考试

高一数学参考答案

一、填空

二、解答题

15．（1）略；（2）2.

16．（1）
（2）
。

17．（1）
；（2）

18．（1）
；（2）不存在。

19． （本小题满分16分）

解：（1）
，

………………………………4分

由于
，

，
……………………5分

，
． ……………… 6分

(2)
时，
, ………………………8分

; …………………………………………10分

（3）
=

设
则
………………………………12分

由于
，所以
…………14分

在
内单调递减，于是当
时
时

的最大值
米． ………………………………………………15分

答：当
或
时所铺设的管道最短，为
米． ……………16分

(3) 解：∵
，且

∴
………10分

由不等式
得

由（2）知：
是R上的增函数

11分

令
则
，