南昌三中2012-2013学年度下学期第一次月考

高二数学（理）试卷

命题：张金生 审题：黄云昭

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）

1．函数
在x=2处的导数等于（ ）

A．
B．5 C．4 D．

2. 下列求导运算正确的是( )

A．
B．

C．
=
D．

3．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　 　)

A.　　　　 B.＋ C.＋ D.＋＋

4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α等于(　 　)

A．4 B．－4 C．5 D．－5

5．函数
可导，则
等于（ ）

A
B
C
D

6．下列函数在点x＝0处没有切线的是(　　)

A．y＝3x2＋cosx B．y＝xsinx C．y＝＋2x D．y＝

7．已知函数
的导函数为
，且满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数f(x)＝sinx＋ex，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，

fn＋1(x)＝f′n(x)，则f2013(x)＝(　　)

A．sinx＋ex B. cosx＋ex C．－sinx＋ex D．－cosx＋ex

9．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是(　　)

A．(3,8) B．(4,7) C．(4,8) D．(5,7)

10．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，

x＋＝＋＋＋≥4……，类比有x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝(　　)

A．n B．2n C．n2 D．nn

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知函数
，则
的导数
=

12．函数
在原点处的切线方程是

13．若函数
，则
的导数为

14．若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

15．设P是边长为a的正三角形ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则h1＋h2＋h3＝a；类比到空间，设P是棱长为a的正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1＋h2＋h3＋h4＝________.

三、解答题（共6小题，共75分，每题要有必要的解题步骤和文字说明）

16．（本小题满分12分）求下列函数的导数：

（1）
； （2）

17．（本小题满分12分）已知
是正实数，且
,求证：
＜
.

18．（本小题满分12分）求证：
（
是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与
轴有两个交点．

19.（本小题满分12分）已知曲线y=
+
.(1)求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

20. (本题满分13分) 如图，点
为斜三棱柱
的侧棱
上一点，
交
于点
，
交
于点
.

(1) 求证：
；

(2) 在任意
中有余弦定理：
. 拓展到空间，

类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角

之间的关系式，并予以证明.

21．（本小题满分14）已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项的和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由．

南昌三中2012—2013学年度下学期第一次月考

高二数学（理）答卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 12. 13.

14. 　 15.

三、解答题（共6小题，共75分，每题要有必要的解题步骤和文字说明）

16．（本小题满分12分）求下列函数的导数：

（1）
； （2）

17．（本小题满分12分）已知
是正实数，且
,求证：
＜
.

18．（本小题满分12分）求证：
（
是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与
轴有两个交点．

19.（本小题满分12分）已知曲线y=
+
.(1)求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

20. (本题满分13分)如图，点
为斜三棱柱
的侧棱
上一点，
交
于点
，
交
于点
. (1) 求证：
；(2) 在任意
中有余弦定理：
. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.

21．（本小题满分14）已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项的和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由．

4高二理科数学答案

选择题（共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）

1．函数
在x=2处的导数等于 （ ）

A．
B．5 C．4 D．

解析：直接利用求导公式即可知选C．答案：C

2. 下列求导运算正确的是( D )

A．
B．

C．
=
D．

3．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　D　)

A.　　　　 B.＋ C.＋ D.＋＋

4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α等于(　A　)

A．4 B．－4 C．5 D．－5

5．函数
可导，则
等于（ C ）

A
B
C
D

6．下列函数在点x＝0处没有切线的是(　　)

A．y＝3x2＋cosx B．y＝xsinx C．y＝＋2x D．y＝

[答案]　C[解析]　∵函数y＝＋2x在x＝0处不可导，∴函数y＝＋2x在点x＝0处没有切线．

7．已知函数
的导函数为
，且满足
，则
（ B．）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数f(x)＝sinx＋ex，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，则f2013(x)＝(　　)

A．sinx＋ex B. cosx＋ex C．－sinx＋ex D．－cosx＋ex

答案　B解析　∵f1(x)＝f′(x)＝cosx＋ex＋2011x2010，f2(x)＝f′1(x)＝－sinx＋ex＋2011×2010x2009，f3(x)＝f′2(x)＝－cosx＋ex＋2011×2010×2009x2008，f4(x)＝f′3(x)＝sinx＋ex＋2011×2010×2009×2008x2007，…，∴f2012(x)＝sinx＋ex.

9．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是(　　)

A．(3,8) B．(4,7) C．(4,8) D．(5,7)

答案　D解析　观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由＝60?n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10时，＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60个数对是(5,7)．

10．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，

x＋＝＋＋＋≥4……，类比有x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝(　　)

A．n B．2n C．n2 D．nn

答案　D解析　第一个式子是n＝1的情况，此时a＝1，第二个式子是n＝2的情况，此时a＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33，归纳可以知道a＝nn.

填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知函数
，则
的导数
=

12．函数
在原点处的切线方程是

13．若函数
，则
的导数为

14．(2009·福建文，15)若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

[答案]　(－∞，0)[解析]　本小题主要考查导数、导数的几何意义、不等式等基础知识．f′(x)＝2ax＋＝0有解(x>0)，即2ax2＝－1有解，∴a<0.

15．设P是边长为a的正三角形ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则h1＋h2＋h3＝a；类比到空间，设P是棱长为a的正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1＋h2＋h3＋h4＝________.

答案　a解析　如图，连接AP，BP，CP，DP，则正四面体ABCD可分成四个小三棱锥，根据体积相等可得，正四面体的体积为×a2×a＝×a2(h1＋h2＋h3＋h4)，所以h1＋h2＋h3＋h4＝a.

三、解答题（共6小题，共75分，每题要有必要的解题步骤和文字说明）

16．（本小题满分12分）求下列函数的导数：（1）函数
的导数；（2）

[解析]　（1）
＝6x5＋12x2.（2）
利用商的求导法则可得

17．（本小题满分12分）已知
是正实数，且
,求证：
＜
.

证明：方法一：由a,b,m是正实数，故要证
＜
,只要证a（b+m）＜b（a+m）,

只要证ab+am＜ab+bm，只要证am＜bm,而m＞0,只要证a＜b,

由条件a＜b成立，故原不等式成立.

方法二：
-
=
.因为a,b，m为正数，所以b（b+m）＞0,

又因为a＜b,所以a-b＜0，所以
-
＜0,即
＜
.

18．（本小题满分12分）求证：
（
是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与
轴有两个交点．

解：假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点，则有

　三式相加，得a2+b2+c2－ab－ac－bc≤0

(a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0．

∴a=b=c与已知a，b，c是互不相等的实数矛盾，

∴这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．

19.（本小题满分12分）已知曲线y=
+
.(1)求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

解：（1）因为y′=x2,所以在点P（2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4.所以曲线在点P（2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

(2)设曲线y=
+
与过点P（2，4）的切线相切于点A
,

则切线的斜率k=
，所以切线方程为y-
=
(x-x0),

即y=
·x-
.因为点P（2，4）在切线上，所以4=2
-
,

即
=0,所以
=0,所以
-4(x0+1)(x0-1)=0,

所以（x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

20. (1) 证：
；

(2) 解：在斜三棱柱
中，有
，其中
为

平面
与平面
所组成的二面角.

上述的二面角为
,在
中，

，

由于
，

有
.

21．（本小题满分14分）已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；

(2)设数列{an}的前n项的和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由．

思路　(1)求得a2、a5的值即可得an的表达式，再利用Tn－Tn－1＝bn求出{bn}的通项公式；

(2)首先求出Sn＋1与的表达式，先进行猜想，再进行证明．

解析　(1)由已知得又∵{an}的公差大于0，∴a5>a2.∴a2＝3，a5＝9.

∴d＝＝＝2，a1＝1.∵Tn＝1－bn，b1＝，当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1，

∴bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)，化简，得bn＝bn－1，

∴{bn}是首项为，公比为的等比数列，即bn＝·()n－1＝，∴an＝2n－1，bn＝.

(2)∵Sn＝n＝n2，∴Sn＋1＝(n＋1)2，＝