台州中学2012学年第二学期第二次统练试题

高一 数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项为(　　)

A．3 B．－1 C．2 D．3或－1

2．下列不等式一定成立的是　

A．若
则
B．若
则

C．若
，则
D．若
则

3．已知直线
与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则
(　　)

A. B．－ C. D．－

4.在等差数列
中,已知
+
=16,则该数列前11项和S11= （　　）

A．58 B．88 C．143 D．176

5．已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列命题不正确的是(　　)

A．e1在e2方向上的射影数量为cosθ B．e＝e

C．(e1＋e2)⊥(e1－e2) D．e1·e2＝1

6．设
、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对边的边长，则直线xsinA＋
y＋c＝0与

bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是(　　)

A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直

7、在等比数列{
n}中,
5
7=6,
2+
10=5,则
等于( )

A.
B.
C.
D.
或

8．下列各函数中，最小值为
的是

A．
，
B.

C．
D．

9. 如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为(　　)

A. B. C. D.

10.已知x，y满足不等式组目标函数z＝
x＋y只在点(1,1)处取最小值，则有(　　)

A．
>1 B．
>－1 C．
<1 D．
<－1

二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，满分21分.

11.若
为圆
的弦
的中点，则直线
的方程是

12．点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是

13. 若
，则cos2θ＝

14．已知集合
，且
，则实数
的取值范围为

15．秋末冬初，流感盛行，某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{
}，已知
＝1，
＝2，且
－
＝1＋(－1)n　(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．

16.平面直角坐标系中，
为坐标原点，已知两点
，若点
满足
，其中
，且
，则点
的轨迹方程为

17．如图，在正方形
中，
为
的中点，
为以
为圆心、
为半径的圆弧上的任意一点，设向量
，则
的最小值为 .

台州中学2012学年第二学期第二次统练试题答题卷

高一 数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，满分21分.

11．_____________ 12．_______________ 13．______________ 14．__________

15．________________ 16．______________ 17．_______________

三、解答题：本大题共5小题，满分49分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

18．解不等式组
.

19．已知向量
＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|
－b|＝.

(1)求cos(α－β)的值；

(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα的值．

20．已知A、B、C分别为△ABC的三边
、b、c所对的角，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，且m·n＝sin2C.

(1)求角C的大小；

(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且
，求边c的长．

21．已知圆C过两点
，且圆心C在直线
上，点A(3,5)

(1) 求圆C的方程；

(2) 求过点A的圆C的切线方程；

(3)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.

，

22．已知点是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且数列{bn}的前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)若数列前n项和为Tn，问使Tn>的最小正整数n是多少？

台州中学2012学年第二学期第二次统练答案

高一 数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

D

B

B

D

C

D

C

D

D



二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，满分21分.

11.
12．(－2,5) 13.－
14．

15． 255 16.
17．

三、解答题：本大题共5小题，满分49分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

18．（7分）由（1）式得
由（2）式得

原不等式的解集为

19（10分）　(1)由|a－b|＝得，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝，

∴a·b＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝a·b＝.

(2)由0<α<，－<β<0得0<α－β<π，∴sin(α－β)＝，由sinβ＝－得cosβ＝，sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ

＝×＋×＝.

20.（10分）(1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)．

在△ABC中，由于sin(A＋B)＝sinC.∴m·n＝sinC.又∵m·n＝sin2C，

∴sin2C＝sinC，∴2sinCcosC＝sinC.又sinC≠0，所以cosC＝.而0

(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列得，2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得，2c＝a＋b.∵·(－)＝18，∴·＝18.即abcosC＝18，由(1)知，cosC＝，所以ab＝36.由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab.∴c2＝4c2－3×36，∴c2＝36.∴c＝6.

21.（11分）　(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.（或x2＋y2－4x－6y＋12＝0）

（2）当切线的斜率不存在时，过点A的直线方程为x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0，由直线与圆相切得，＝1，∴k＝.∴直线方程为x＝3或y＝x＋.

(3)|AO|＝＝，直线OA：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝，S＝·d·|AO|＝.

22（11分）　(1)∵点是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上一点，∴f(1)＝a＝.

已知等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则当n≥2时，an＝[f(n)－c]－[f(n－1)－c]＝an(1－a－1)＝－.∵{an}是等比数列，∴{an}的公比q＝.∴a2＝－＝a1q＝[f(1)－c]×，解得c＝1，a1＝－.故an＝－(n≥1)．由题设知{bn}(bn>0)的首项b1＝c＝1，

其前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)，

由Sn－Sn－1＝＋?－＝1，且＝＝1.

∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，即＝n?Sn＝n2.

∵bn＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，又b1＝1＝2×1－1，

故数列{bn}的通项公式为：bn＝2n－1(n≥1)．

(2)∵bn＝2n－1(n≥1)，∴＝.∴Tn＝

＝＝.

要Tn>?>?n>＝111，故满足条件的最小正整数n是112.