汕头市金山中学2012～2013学年度第二学期期末考试

高一数学试题

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分把答案填在答题卡相应位置上

1．等差数列
中，
，则
．

A．
　 B．
C．
D．

2．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为

A．15 B．20 C．25 D．30

3．要得到函数
的图象,只需将函数
的图象上所有的点

A．横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),再向左平行移动
个单位长度

B．横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),再向右平行移动
个单位长度

C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动
个单位长度

D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动
个单位长度

4．下列关系式中正确的是

A．

B．

C．

D．

5．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是

A、 45 B、 46 C、 50 D、 48

6 已知
，则

A． n＜m ＜ 1 B. m＜n＜ 1 C. 1＜ m＜n D. 1 ＜n＜m

7．
中,若
且
,则
的形状是

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形

8、设
若
的最小值为

A. 8 B. 4 C. 1 D.

9．在数列
中，
，
，则

A．
B．
C．
D．

10．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为
，则下列关系中正确的为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应位置上

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若

bcosC+ccosB=
acosB，则cosB的值为 ▲ ．

12．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下

125 124 121 123 127 （单位：克）

则该样本标准差
▲ （克）（用数字作答）．

13．执行右边的程序框图，若
，

则输出的
▲ ．

14．若x，y满足约束条件
，目标函数
仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 ▲ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

15．设
是公比为
的等比数列，
，令
，若数列
有连续四项在集合
中，则
= ▲ .

16、下列命题：

① 已知△
△
中最大角，且
，则△
为钝角三角形 ② 若
则
③ 若
且
为锐角，则
④ 已知数列
的前
项和
为非零常数）,则数列
为等比数列.

⑤函数
的图像与函数
的图像所有交点的横坐标之和等于4其中正确的命题序号___▲_____.(注：把你认为正确的序号都填上）

三、 解答题：本大题共5小题，共70分， 请将解答写在答题卡相应位置。

17．（14分）已知函数

(Ⅰ)求函数
的最小正周期及单调递增区间;

(Ⅱ)在
中,若
,
,
,求
的值.

18．为了加强对H7N9的防控，某养鸭场要围成相同面积的长方形鸭笼四间（无盖），如图所示，一面可利用原有的墙，其他各面用铁丝网围成.

（Ⅰ）现有可围72m长的铁丝网，则每间鸭笼的长、宽各设计为多少时，可使每间鸭笼面积最大？

（Ⅱ）若使每间鸭笼面积为24 m2，则每间鸭笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间鸭笼的铁丝网总长最小？（14分）

19．已知Sn是等比数列
的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证a2，a8，a5成等差数列. （12分）

20． 下面一组数据是某生产车间20名工人某日加工零件的个数.

112 117 126 128 124 122 116 113 107

116 132 127 128 126 121 120 118 108 110

（1）求这组数据的中位数和平均数；

（2）请设计适当的茎叶图表示这组数据，并根据图说明一下这个车间此日的生产情况. （14分）

21、若数列
是首项为
，公差为6的等差数列；数列
的前
项和为
，其中
为实常数．

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
是等比数列，试证明: 对于任意的
, 均存在正整数
, 使得
, 并求数列
的前
项和
；

（Ⅲ）设数列
满足
, 若
中不存在这样的项
, 使得“
”与“
”同时成立（其中
，
），求实数
的取值范围．（16分）

高一(期末)考试 数学 参考答案

1. C 2. B 3. D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.B 9.A 10.D

11.
12.2 13．
14.（
，2 ） 15. -9 16. ③⑤

10.答案：D 【解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以
、
、
，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，所以
，则

17、解:(Ⅰ)

┅4分

由
得,
(
).,

故
的单调递增区间为
(
) ┅8分

(Ⅱ)
,则

┅11分

又


┅14分

18、(1)设每间鸭笼长x m，宽为y m,则由条件得4x+6y=72,即2x+3y=36,

设每间鸭笼面积为S,则S=xy.由于

∴
得
即
┅┅4分

当且仅当2x=3y时，等号成立,由
解得
┅┅6分

故每间鸭笼长为9 m,宽为6 m时，可使面积最大. ┅┅7分

(2)由条件知S=xy=24,设铁丝网总长为l，则l=4x+6y.

由(1)知
=24

∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48 ┅┅11分

当且仅当2x=3y时，等号成立,由
解得
┅┅13分

故每间鸭笼长6 m,宽4 m时，可使铁丝网总长最小. ┅┅14分

19．解：设等比数列
的公比为q，因为S3，S9，S6成等差数列，

所以公比
，且
， （3分）

即
. （6分）

于是
， 即
. （8分）

以上两边同乘以
，得
， （10分）

即
， 所以a2，a8，a5成等差数列. （12分）

20．解：（1）将这组数据从小到大排列如下：

107 108 110 112 113 116 116 117 118 120

121 122 124 126 126 127 128 128 132 134

由上可知这组数据的中位数为
… 4分

这组数据的平均数为

120+(-13-12-10-8-7-4-4-3-2+0+1+2+4+6+6+7+8+8+12+14)÷20=120.25 8分（2）这组数据的茎叶图如下： … 12分

茎

叶



10

7 8



11

0 2 3 6 6 7 8



12

0 1 2 4 6 6 7 8 8



13

2 4





由该图可以看出20名工人的日加工零件个数稳定在120件左右. … 14分

21、解: (1)因为
是等差数列,所以
2分

而数列
的前
项和为
,

所以当
时,
，又
,所以
………………4分

(2)证明:因为
是等比数列,所以
,即
,

所以
………………5分

对任意的
,由于
,

令
,则
,所以命题成立 ……7分

数列
的前
项和
…………………9分

(3)易得
,

由于当
时,

,所以

①若
,即
,则
,所以当
时,
是递增数列,故由题意得

,即
,解得
,…………………13分

②若
,即
,则当
时,
是递增数列,,

故由题意得
,即
,解得
…………14分

③若
,即
,

则当
时,
是递减数列, 当
时,
是递增数列,

则由题意,得
,即
,解得
…15分

综上所述,
的取值范围是
或

……………16分