2013-2014学年度第一学期考试

高一年级数学科(A卷)

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

第Ⅰ部分 选择题（共50分）

一、选择题：(本大题共8个题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确的选项选出，将其代码填涂到答题卡上）

1、设全集
，集合
，
，则图中的阴影部分表示的集合为( B )

A．
B．
C．
D．

2、下列函数中哪个与函数
相等 （ D ）

A.
B.
C.
D.

3、过两点
和
的直线在
轴上的截距为 (A　 　).

A.
B.
C.
D.

4、已知
，则在下列区间中，
有实数解的是（ B ）．

A.（－3，－2） B.（－1，0） C.（2，3） D. （4，5）

5、已知
，则它们从小到大为 （ A ）

A．
B.
C.
D.

6、设
表示平面，
表示直线，给定下列四个命题：

①
； ②
;

③
; ④
.其中正确命题的个数有（B ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7、某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 （ C ）

A．
B．

C．
D．

8、设
表示
，
两者中的较小者，若函数
，则满足
的
的集合为（A）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上。

9、
6 ．

10、已知
是奇函数，且当
时，
，则
的值为 -2 ．

11、函数
的定义域是

12、函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在［1，2］中的最大值比最小值大
，则a的值为

13、若直线
与直线
互相平行，则实数
=________-4_____

14、直线
与以A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是___
__

三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

15、（本题满分12分）已知
或
，
．求：

（1）
； （2）
； （3）
．

解：（1）
…………4分

（2）
=
或
…………8分

（3）
或
…………10分

或
…………12分

16、（本题满分12分）已知直线
经过直线
与直线
的交点
，且垂直于直线
.

（1）求直线
的方程；

（2）在x轴上求一点A,使A点到原点的距离和A点到直线
的距离相等。

17、（本题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO………………………..1

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点………………2

在
中，EO是中位线，∴PA // EO………………4

而
平面EDB且
平面EDB，

所以，PA // 平面EDB………………6

（2）证明：

∵PD⊥底面ABCD且
底面ABCD，∴
………………7

∵PD=DC，可知
是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴
. ①………………8

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC. ………………9

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。………………10

而
平面PDC，∴
. ②………………11

由①和②推得
平面PBC. ………………12

而
平面PBC，∴
………………13

又
且
，所以PB⊥平面EFD. ………………14

18、（本题满分14分）建造一容积为8
，深为2m的长方体形无盖水池，每平方米池底和池壁造价各为120元和80元.

（1）求总造价关于一边长x的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）判断（1）中函数在(0,2)和
上的单调性；

（3）如何设计水池尺寸，才能使总造价最低；

解：（1）水池的总造价为：

………………4分

（2）任取
， 且
，则………………5分

因为
，
，所以
，
………………8分

当
，此时
，即
；………………9分

当
，
，此时
，即
……………10分

所以，函数在
上单调递减，在
上单调递增。………………12分

（3） 由（2）可知，当
时，总造价最低，为1760元.………………14分

19、（本题满分14分）已知函数
且
．

（1）求函数
定义域；

(2) 判断函数
的奇偶性，并予以证明；

（3）求使
的
的取值范围．

解：
解得:

所以函数
的定义域是
………………3分

(2)由(1)知函数
的定义域关于原点对称 ………………4分

………6分

函数
是奇函数 ………………7分

(3) 使
>0,即

当
时, 有
解得
的取值范围是
………10分

当
时, 有
解得
的取值范围是
…………13分

综上所述：当
时
的取值范围是
，

当
时
的取值范围是
………………14分

20．（本题满分14分）已知函数

（1）若
，求函数
的表达式；

（2）在（1）的条件下，设函数
，若
上是单调函数，求实数
的取值范围；

（3）是否存在
使得函数
在
上的最大值是4？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）∵
解得
………………1分

∴
………………2分

由（1）可得

，

其对称轴方程为
………………3分

若
在
上为增函数，则
，解得
………………4分

若
在
上为减函数，则
，解得
………………5分

综上可知，
的取值范围为
. ……………… 6分

（3）当
时函数
在
上的最大值是15，不满足条件 ………7分

当
时假设存在满足条件的
，则
的最大值只可能在
处取得，

其中
……………… 8分

① 若
，则有
，
的值不存在，………9分

② 若
，则
，解得
，此时，对称轴
，则最大值应在
处取得，与条件矛盾，舍去 ……………10分

③ 若
，则
，且
， ……………11分

化简得
，解得
或
，满足
………………13分

综上可知，当
或
时，函数
在
上的最大值是4. …………14分