湖北省黄冈中学2013年秋季高一数学期中考试试题

（教师版）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 如右图所示，
是全集，
、
是
的子集，则图中阴影部分表示的集合是(　　)

A．
B．

C．
D．

【答案】B

【解析】由交集、补集的定义可知选B.

2．函数
的定义域为集合
，则集合
（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】要使解析式有意义：
，解得：
，故选B；

3．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）

A.
与
B.
与

C.
与
D.
与

【
答案】D

【解析】A、B选项，
定义域不同；B选项，值域不同或者对应关系不同.

4．函数
，
的大致图象为（　　）

【答案】C

【解析】
，只需将
图像关于x轴作对称变换即可得到；

5. 下列函数中,既是偶函数又在区间
上单调递减的是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】由“偶函数”条件，可以排除A，B；由“在区间
上单调递减”可以排除D；故选C；

6．已知
是奇函数,
是偶函数,且
,则
（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】B

【解析】

是奇函数,
是偶函数，

由题可得：
，解方程可得：

7．已知
为正实数,则（ ）

A.
B.

C.
D.

【答案】D

【解析】由对数、指数运算性质可知选D；

8．拟定从甲地到乙地通话
分钟的话费由
给出，其中
是不超过
的最大整数，如：
，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（ ）

A. 3.71 B. 4.24 C. 4.77 D. 7.95

【答案】C

【
解析】

9．集合
的子集只有2个,则
（ ）

A. 4 B. 2 C. 0
D. 0或4

【答案】A

【解析】集合
子集只有2个，则集合
中元素只有一个，方程
只有一个根；当
，不合题意；当
，
，解得：
；故选A.[来源:学科网ZXXK]

10．已知函数
是定义在
上的偶函数, 且在区间
单调递减. 若实数
满足
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】D

【解析】
，所以
由“函数
是定义在
上的偶函数, 且在区间
单调递减”，所以
，
即
，所以
；故选D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．函数
的反函数的图象过点
，则
的值为_______．

【答案】3

【解析】由题知：
图象过点
,则
，又
，所以
.

12．计算
_______．

【答案】0

【解析】

13．已知函数
的图象如右图所示，则此函数的定义域是

___
_____，值域是_______．

【答案】
，

【解析】由图像可知；

14．给定集合
、
，定义A※B
，若
，
则集合A※B中的所有元素之和为_______．

【答案】15

【解析】A※B
，元素之和为15；

15．设
为实常数,
是定义在
上的奇函数,当
时,
,若
对一切
成立,则
的取值范围为_______．

【答案】

【解析】
解析式为：
；因为
对一切
成立，
；

，
，由
，所以

，解得
；

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
设集合
，
，
；

（1）求
，
；

（2）若
，求由实数
为元素所构成的集合
.

解：（1）
，

，
；……………………………………………………（6分）

（2）
，

当
时，此时
，符合题意；……………………………………………………（8分）

当
时，
，此时
，
，
；

解得：

综上所述：实数
为元素所构成的集合
…………………………………（12分）

17.（本小题满分12分）已知
；

（1）求
的定义域和值域；

（2）判断
的奇偶性并证明.

解：（1）由题可得：
，解得：
;

所以定义域为
……………………………………………………………（3分）

设
，当
时，

值域为
…………………………………………………………（6分）

（2）
的定义域关于原点对称；

，所以
为奇函数；…………………………………………………（12分）

18.（本小题满分12分）已知定义域为
的函数
是奇函数；

（1）求实数
的值；

（2）判断并证明函数
的单调性；

（3）若关于
的方程
在
上有解，求实数
的取值范围.

解
：（1）
为奇函数

，此时有
，解得
；

…………………………………………………………（4分）

（2）由（1）知：

任取
，则

即

为减函数；……………………………………………………………………………（8分）[来源:学_科_网][来源:学§科§网]

（3
）由（2）知：
为减函数；

时，
，
；故

关于
的方程
在
上有解，所以只需要
……………（12分）

19. （本小题满分12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，
每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中
是仪器的产量；

将利润
表示为产量
的函数（利润=总收益－总成本）；

当产量
为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？

解（1）当
时，

=
；

当
时

所以所求
……………………………………（6分）

（2）当
时

当
时，

当
时

所以当
时，

答：当月产量
为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元…………………（12分）

20. （本小题满分13分）已知函数
，对任意的
，都有
成立；

（1）求
的值；

（2）若
，
，

在区间
上的最小值为2，求
的值；

（3）若函数
取得最小值0，且对任意
，不等式
恒成立，求函数
的解析式.

解：（1）由

有

整理即得：

上式对于任意
都成立

，可得

…………………………………………………………………………………（4分）

（2）由（1）知：
，又
，可求得

二次函数
的对称轴为：
；

当
时，则
，

此时函数

在
上为减函数，

，解得

又由
，可得

当
时，则
，[来源:学科网ZXXK]

此时，
，故不符合题意；

当
时，

此时函数
在
上为增函数，

，解得

又由
，可得

综上：
…………………………………………………………
…………………（9分）

由（1），可设

函数
取得最小值0，
，即得：

方法一：由题：对任意
，不等式
恒成立；也即：

恒成立；

不等式（1）恒成立，可得
，解得：

不等式（2）恒成立，
恒成立，可得：

综合可得：

方法二：

对任意
，不等式
恒成立

时，有
，即
，

，解得

此时

经检验：对任意
，不等式
恒成立；

……………………………………………………………………（13分）

21．（本小题满分14分）已知函数
的定义域为
，当
时，
，且对任意
的，恒有
；

求
的值;

求证：
上为增函数;

若

[来源:Zxxk.Com]

，求
.

解：（1）方法一：令
则
由题

方法二：令
同理可得
…………………………………………………（2分）

（2）

结合（1）及条件可知：
…………………………………………………（4分）

设

又由前可知：

………………………………………………………………（9分）

（3）由

①

又

而
②

代②入①可解得：
由
得

从而由②可得：
………………………（14分）