吉林省实验中学

2013—2014学年度教学质量阶段检测与评估（一）

高一数学试题

命题人：李景秋 审题人：王峰

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.

（1）在数列
中，等于

（A）11 （B）12 （C）13 （D）14

（2）在△ABC中，
分别为角
所对的边，若
，则△ABC的形状为

（A）钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 （D）不能确定

（3）在△ABC中，A＝45°，B＝30o，b＝2，则a的值为

（A）4 （B）2
（C）
（D）3

（4）设
成等比数列，其公比为2，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）1

（5）在△ABC中，
分别为角
所对的边，若acosA－bcosB＝0，则△ABC的形状是

（A）等腰三角形 （B）直角三角形

（C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形

（6）在△ABC中，角
的对边分别是
，若
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）如图：D， C，B三点在地面同一直线上，DC＝，从C，D两点测得A点仰角分别是
， (
)，则A点离地面的高度AB等于

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）等比数列
的各项均为正数，且
，则
的值为

（A）12 （B）10 （C）8 （D）

（9）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
是较小的两份之和，问最小1份为

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）数列
中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为1、公比为的等比数列，则an等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）设等差数列
的前项和为
，首项
，
.则以下关于数列
的判断中正确的个数有

①
；②
；③
；④前项和
中最大的项为第六项

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（12）已知函数

，数列
满足

，且数列
是递增数列，则实数的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

（13）设
是等差数列
的前项和,且
，则
．

（14）每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的，若洗n次后，存在的污垢在1%以下，则n的最小值为_______．

（15）在△ABC中，若
，则
．

（16） 定义:
,已知数列
满足:

,若对任意正整数,都有
,则
的值为 .

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

（17）（本小题满分10分）

已知在等差数列
中，
.（Ⅰ）求通项公式
；

（Ⅱ）求前项和
的最大值.

（18）（本小题满分12分）

已知在△ABC中，若角
所对的边分别为
，且
.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
，求边的值.

（19）（本小题满分12分）

数列
的通项公式为
，等比数列
满足
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和
；

（Ⅲ）设
，求数列
的前项和
．

（20）（本小题满分12分）

如图，A，B是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距
海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

（21）（本小题满分12分）

已知数列
满足
，
．

（Ⅰ）求证：数列
为等差数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）当
时，若
求
的值.

（22）（本小题满分12分）

已知数列
满足
．

（Ⅰ）证明列
为等比数列，并求出数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
．证明：数列
是等差数列．

（Ⅲ）证明：
．

参考答案

一、选择题（本大题共12道题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

B

A

D

B

A

B

A

D

C

C



二、填空题（本大题共4道题，每小题5分，共20分）

13．
14． 4

15． 3 16．

三、解答题（本大题共6道题，其中17题10分，18~22题每题12分，共70分）

17．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）设
的公差为
，由已知条件，得
，

解得
，……2分

所以
．（
）……5分

或
，得
，所以

（Ⅱ）

．……8分

所以
时，
取到最大值
．……10分

18．（本小题满分12分）

解 ：（1）由已知条件，及余弦定理得

=
, ……3分

且
……4分

……6分

（2）在
中，由余弦定理得

， ……8分

将
代入，得
，……10分

得
，或
（舍）

所以，
……12分

19．（本小题满分12分）

（I）由已知，得
，

且数列
为等比数列，设公比为，则
， ……1分

解得
， ……2分

则数列
的通项公式为
; ……3分

（II）
; ……6分

（III）由已知
,

所以,
. ① ……7分

②……8分

①-②，得
……10分

所以，
……12分

20．（本小题满分12分）

解：由题意知
海里，

……3分

在
中，由正弦定理得
……4分

=
（海里）， ……6分

又

海里 ……7分

在
中，由余弦定理得

=
……9分

30（海里）， ……10分

则需要的时间
（小时）。 ……11分

答：救援船到达D点需要1小时。……12分

21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）当
时，
，整理得

故
，且
， ……2分

所以
为以1为首项，2为公差的等差数列. ……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，所以

方法1:

当
时，
=
， ……6分

当
时，

则
……8分

方法2：由已知当
时，
，将
代入,可得

……6分

经验证,
时,不符

综上,
……8分

（III）当
时,
,

所以
……10分

则

(
)……12分

22．（本小题满分12分）

因为
,所以
,且
,

所以,
是以2为首项,2为公比的等比数列. ……2分

则
,即
,
. ……3分

（Ⅱ）因为
所以.
……4分

所以
①

② ……6分

②-①,得

即
③

④ ……8分

④-③,得
,

即

得
,
……10分

所以数列
为等差数列.

(III）因为
,
……11分

所以
. ……12分