东莞市四校联考2013—2014学年度第二学期期中考试

高一年级 数学学科 试卷

题号

一

二

三

四

五

六

总分



得分

















一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.圆
的圆心和半径分别为 ( )

A.
B.
C.
D.

设
，
则点到点距离为 （ ）

A.
B.
C.
D.

一个扇形的弧长与面积都是
，则这个扇形圆心角的弧度数为 （ ）

A．
B．
C．
D．

已知是第二象限角,
( )

A．
B．
C．
D．

圆
和圆
的位置关系是 （ ）

A.相交 B.相切 C.外离 D.内含

已知函数
，下面结论错误的是 （ ）

A.函数
的最小正周期为
B.函数
在区间
上是增函数

C.函数
的图像关于直线
对称 D.函数
为奇函数

7.函数
的图像可由函数
的图像 得到 ( )

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

8.已知
，
，且
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

函数
在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为（ ）

A.
B.

C.
D.

10.设函数
的最小正周期为，

且
，则

（ ）

A．
在
单调递减 B．
在
单调递减

C．
在
单调递增 D．
在
单调递增

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

11.已知
，则
的值为 ．

12.已知
，则
．

13.经过点
，并且与圆
相切的直线方程是 ．

14.函数
的图像为
，下列命题:

①图像
关于直线
对称； ②函数
在区间
内是增函数；

③将
的图像上的点横坐标保持不变,纵坐标变为原来的3倍即可得到图像
；

④图像
关于点
对称.

其中，正确命题的编号是 ．（写出所有正确命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15.（本小题满分12分）如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，
是单位圆上的两点，
是坐标原点，
，
，

（I）求点坐标；

（II）若
，求
的值．

16.（本小题满分12分）已知函数
（其中
，
）．

（I）求函数
的最小正周期；

（II）若点
在函数
的图像上，求的值．

17.（本小题满分14分）已知函数
（其中
，
）的振幅为2，周期为．

（I）求
的解析式；

（II）求
的单调增区间．

18.（本小题满分14分）已知圆
与直线
相切于点
，且圆心
在直线
上，求圆
的方程．

（本小题满分14分）已知函数

（I）将
化为
；

（II）若对任意
，都有
成立，求的取值范围；

（III）若将
的图像先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，后向左平移
个单位得到函数
的图像，求函数
在区间
内所有零点之和．

20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系
中，设二次函数


的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为
．求：

（I）求实数
的取值范围；

（II）求圆
的一般方程；

（III）问圆
是否经过某定点（其坐标与
无关）？请证明你的结论．

2013----2014年高一四校联考数学评分标准

选择题

BCDAA DCBDA

填空题

12.
13.
14.①②③

解答题

15.解:（I）设
则
，

所以
…………………………………………………………………………………………4分

（II）因为
，所以
……………………………………………………8分

所以
………………………………………………………10分

………………………………………………………12分

16.解:（I）∵
， …………………………………………………………………2分

∴函数
的最小正周期为
．………………………………………………………………4分

（II）∵函数
，…………………………………………………6分

又点
在函数
的图像上，

∴
．………………………………………………………………………8分

即
．………………………………………………………………………………………10分

∵
，∴
．…………………………………………………………………………12分

17.解:（I）∵函数
（其中
）的振幅为，周期为．

∴
解得
．…………………………………………………………………4分

∴
．……………………………………………………………………………6分

（II）由
，………………………………………………………………8分

解得
………………………………………………………………………12分

∴
的单调增区间为
…………………………………………………14分

18.解:∵

∴
………………………………………………………………………………………2分

∴与直线
垂直的直线斜率为
…………………………………………………4分

∴与直线
垂直且过点
的直线方程为:

即:
……………………………………………………………………………………………8分

由
得
即圆心为
……………………………………………………10分

∴
……………………………………………………………………………12分

∴所求圆的方程为:
………………………………………………………………14分

19.解:（I）

……………………………………………………………………2分

…………………………………………………………………4分

…………………………………………………………6分

（II）若对任意
，都有
成立,则只需
即可

∴
………………………………………………………………8分

∴当
即
时,
有最小值即

故求的取值范围为:
………………………………………………………………10分

（III）依题意可得:

由
得

由图可知,原函数有6个零点:
根据对称性有:

从而,所有零点和为: