命题：崔志荣 校核：万元湘

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1. 求值：
= ．

2. 若棱长为
的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为__________．

3. 过两点
且圆心在直线
上的圆的标准方程为________.

4. 若直线
的一般方程为
，则直线
的倾斜角的取值范围是 ．

5.设
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，给出下列四个命题：

（1）若
，则
.

（2）若
，则
.

（3）若
，则
.

（4）若
，则
.

其中真命题是__________． （填正确命题的序号）

6.
＝_________.

7.若一个圆锥的侧面展开图是面积为
的半圆面，则该圆锥的体积为_________.

8. 若直线
经过点
且与圆
相切，则直线
的方程为 ．

9. 若
，则
= ．

10. 在直三棱柱
中，
，
，
，
分别为
的中点，则四面体为
的体积为_________.

11.若直线
与圆
的交点
关于直线
对称，则= ．

12. 求值：
= ．

13.若
，且
，则
= ．

在平面直角坐标系
中，已知圆C：
，直线
经过点
，若对任意的实数，直线
被圆C截得的弦长都是定值，则直线
的方程为_________.

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，若点E，F分别是PC，BD的中点.

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：平面PAD⊥平面PCD.

16．(本小题满分14分)

已知半径为
的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且圆与直线
相切.

求圆的方程；

设直线
与圆相交于
两点，且满足
，求实数的值.

.

17．(本小题满分14分)

已知函数
，
.

（Ⅰ）求函数
单调增区间；

（Ⅱ）求函数
的值域．

18. (本小题满分16分)

如图，在三棱锥P－ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝12，D为AB中点，M为PB中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.

（1）求证：DM∥平面PAC；

（2）求证：平面PAC⊥平面ABC；

（3）求三棱锥M－BCD的体积.

19．(本小题满分16分)

如图,在半径为
、圆心角为60°的扇形的弧
上任取一点,作扇形的内接矩形
,使点
在
上,点
在
上,设矩形
的面积为.

(Ⅰ) 按下列要求求出函数关系式并写出定义域：

① 设
,将表示成的函数关系式；

② 设
,将表示成
的函数关系式.

(Ⅱ) 请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,求的最大值.

20．(本小题满分16分)

在平面直角坐标系
中，以原点
为圆心的圆
是曲线
的内切圆.

（1）求圆
的方程；

（2）若直线
与圆
相切于第一象限，且与
轴分别交于
两点，当
长最小时，求直线
的方程；

（3）设
是圆
上任意两点，点
关于轴的对称点为
，若直线
、
分别交于轴于点
和
，问这两点的横坐标之积
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

高一数学期中考试参考答案

13、
；14、
.

15、（1）设PD中点为H，AD中点为G，连结FG，GH，HE，

G为AD中点，F为BD中点， GF

，

同理EH

，

ABCD为矩形， AB
CD， GF
EH， EFGH为平行四边形，

EF∥GH，又
∥面PAD.

（2）面PAD⊥面ABCD，面PAD面ABCD＝AD，又ABCD为矩形，

CD⊥AD， CD⊥面PAD

又CD面PCD，面PAD⊥面PCD.

16、（1）设
，圆与直线
相切，

，
或
，圆心的横坐标是整数，

，圆的方程为
.

（2）
且
，圆心到直线
为
，

，化简得
，解得
或
.

17、（1）∵

学科

．

,

，单调增区间为
.

（2）∵
，
，

由
，
，

的值域为
．

18、（1）D为AB中点，M为PB中点，

DM∥AP，

又DM面APC，AP面APC，

DM∥面PAC.

（2）△PDB是正三角形，M为PB中点，

DM⊥PB，又DM∥AP， PA⊥PB，

又PA⊥PC，PBPC＝P，PA⊥面PBC，

又BC面PBC， PA⊥BC，

又∠ACB＝90°， BC⊥AC，

又ACPA＝A， BC⊥面PAC

又BC面ABC,面PAC⊥面ABC.

（3）AB＝12，D为AB中点，AP⊥面PBC，

PD＝6，

又△PDB为正三角形， DM＝
，

又BC＝4，PB＝6， PC＝
，

S△PBC＝
，

.

19、(1) ① 因为
,所以
,又
,

所以
，

故
(
)，

② 当
时,
,则
,又
,

所以

故
(
) ，

(2)由②得
=
,

故当
时,y取得最大值为
.

20、解：（1）当
，
时，曲线
是以点
，
为端点的线段，

根据对称性可知，曲线是由
，
，
，
围成的正方形，

圆O的半径
，圆O的方程为
.

令
，

即
时，
最大，此时
最大，
，

直线
：
.

（3）设
，
，则
，
，
，

直线
的方程：
，令
，

解得
，同理
，

.