甘肃兰州一中2013—2014学年度下学期期末考试

高一数学试题

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分100分,考试时间100分钟。答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意)

1．若
为第三象限，则
的值为 （ ）

A．3 B．－3 C．1 D．－1

2．
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．－

3. 已知
则向量
在
方向上的投影为 （ ）

A.
B.
C.
D.

4.
单调增区间为 （ ）

A．
,
B．
,

C．
,
D．
,

5．在△ABC中，已知
的值为 （ ）

A．－2 B．2 C．±4 D．±2

6. 由函数
的图象（ ）

A．向左平移
个单位 B．向左平移
个单位

C．向右平移
个单位 D．向右平移
个单位

7.函数
在
上单调递增,则
的取值范围是（ ）

A.
,
B.
,

C.
,
D.
,

8.已知
为奇函数，则
的一个取值为 （ ）

A．0 B．π C．
D．

9.已知
，则
的值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
，（
）的最小正周期为
，

则
在区间
上的值域为 （ ）

A.
B.
C.
D.

11. 设向量
、
满足：
，
，
，
的夹角是
，

若
与
的夹角为钝角，则
的范围是 （ ）

12.给出下列命题

①
中，
,则
；

② 角
终边上一点
，且
，那么
；

③ 若函数
对于任意的
都有
，

则
；

④ 已知
满足
，则
；

其中正确的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）

13．已知向量
的夹角为
，

；

14. 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如下图所示，则f()＝　　　　；

15.在边长为1的正
中，设
,则
= ___________；

16.已知
,且
为锐角,则
______.

三.解答题（本大题共4大题,共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本小题8分)

已知
,
且
,
，求
.

18. (本小题8分)

已知：
、
、
是同一平面内的三个向量，其中
＝（1，2）

⑴若|
|
，且
，求
的坐标；

⑵若|
|=
且
与
垂直，求
与
的夹角θ.

19．(本小题8分)

如图所示，在△ABO中，
, AD与BC相交于点M，

设
=
，
=
.试用
和
表示向量
.

20．（本小题12分）

已知
，
.

（1）若
，求证：
；

（2）设
，若
，求
的值.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

A

B

D

B

A

D

C

A

B

B





二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.
; 14.
; 15.
; 16.

三.解答题（本大题共4大题,共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本小题8分)

已知
,
且
,
，求
.

解 ∵
∈
，cos
=-
,∴sin
=
. ..............................2分

又∵0＜
＜
,
＜
＜
,∴
＜
+
＜
,

又sin(
+
)=
,

∴
＜
+
＜
,cos(
+
)=-

=-
=-
, ...............................4分

∴sin
=sin［(
+
)-
］

=sin(
+
)cos
-cos(
+
)sin

=
·
-
·
=
. ...............................8分

18. (本小题8分)

已知：
、
、
是同一平面内的三个向量，其中
＝（1，2）

⑴若|
|
，且
，求
的坐标；

⑵若|
|=
且
与
垂直，求
与
的夹角θ.

解：⑴设

由
∴
　或

∴
...............................4分

⑵

……（※）

代入（※）中,

...............................8分

19．(本小题8分)

如图所示，在△ABO中，
=

,
,AD与BC相交于点M，

设
=
，
=
.试用
和
表示向量
.

解 设
=ma+nb，

则
=
-
=ma+nb-a=(m-1)a+nb.

=
-
=

-
=-a+
b.

又∵A、M、D三点共线，∴
与
共线.

∴存在实数t,使得
=t
， ...............................2分

(m-1)a+nb=t(-a+
b). ∴(m-1)a+nb=-ta+
tb.

，消去t得：m-1=-2n.

即m+2n=1. ①

...............................4分

又∵
=
-
=ma+nb-
a=(m-
)a+nb.

=
-
=b-
a=-
a+b.

又∵C、M、B三点共线，∴
与
共线.

∴存在实数t1,使得
=t1
,

∴(m-
)a+nb=t1（-
a+b）

∴
，

消去t1得,4m+n=1 ②

...............................6分

由①②得m=
,n=
,

=
a+
b. ...............................8分

注：本题解法较多，只要正确合理均可酌情给分.

20．（本小题12分）

已知
，
.

（1）若
，求证：
；

（2）设
，若
，求
的值.

解：（1）∵
∴
即
，

又∵
，

∴
∴
∴
. ...............................4分

（2）∵

∴
即

两边分别平方再相加得：
∴
∴