一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1． 曲线
在(1,1)处的切线方程是（ ）

A.
B.

C.
D.

2． 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个大于或等于60。”时，假设正确的是（ ）

A.假设至多有一个内角大于或等于60°

B.假设至多有两个内角大于或等于60°

C.假设没有一内角大于或等于60°

D.假设没有一个内角或至少有两个内角大于或等于60°

3． 观察按下列顺序排列的等式：
，
，
，
，…，猜想第
个等式应为（ ）

A．
B．

C．
D．

4． 已知
则a，b，c的大小关系为（ ）

A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>c>a

5． 曲线
与轴以及直线
所围图形的面积为（ ）

A． B． C．
D．

6． 已知数列
满足
，
，
，则
＝（ ）

A．1 B．2 C．3 D．0

7． 函数
的大致图像为（ ）



8． 已知直线
是
的切线，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9． 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数
，如果
，那么
是函数
的极值点，因为函数
在
处的导数值
，所以，
是函数
的极值点。

以上推理中（ ）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确

10．对于上可导的任意函数
，若满足
，则必有

A．
B.

C.
D.

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 如图是导函数
的图象，那么函数的极大值点为______．

12.
=________．

13．已知
（为常数），在
上有最小值
，那么在
上
的最大值是________．

14．平面几何中，边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值
，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为________．

15．已知函数
（a，b为常数）的定义域为D，关于函数，给出下列命题：

①对于任意的正数a，存在正数b，使得对于任意的
，都有
；

②当a>0，b<0时，函数f(x)存在最小值；

③若ab<0,则f(x)一定存在极值点；

④若
时，方程
在区间（1，2）内有唯一解.

其中正确命题的序号是________．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

已知函数
在
与
时都取得极值

(1)求
的值。 (2)函数
的单调区间。

17．（本小题满分12分）

求右图所示阴影部分的面积

18. （本小题满分12分）

的三个内角
成等差数列，求证：

19．（本小题满分12分）

如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？

20．（本小题满分13分）

设数列
满足

当
时，求
，并由此猜想出
的一个通项公式；

当
时，证明对所有
，有①
，②
。

21．（本题满分14分）

已知函数
，
.（为常数，为自然对数的底）

（1）当
时，求
的单调区间；

（2）若函数
在区间
上无零点，求的最小值；

（3）若对任意给定的
，在
上总存在两个不同的
，使得
成立，求的取值范围．

11.
12. 13.57 14.
15.②③④

16.解：（1）

由
，
得

(2)
，函数
的单调区间如下表：





























(

极大值

(

极小值

(



所以函数
的递增区间是
与
,递减区间是
；

17.

18.证明：要证原式，只要证

即只要证

而

19.解：设小正方形的边长为厘米，则盒子底面长为
，宽为

，
（舍去）

，在定义域内仅有一个极大值，

20.

21.解：（1）当
时，
则
.

令
得
；令
得

故
的单调递减区间为
，单调递增区间为
……………3分

（2）∵函数
在区间
上不可能恒成立，故要使函数
在区间
上无零点，只要对
，
恒成立。即对
，
恒成立。……4分

令
（
）则

再令
，则
，∵
，∴

故函数
在区间
上单调递减，∴

即
，∴函数
在区间
上单调递增，∴
…6分

故只要
函数
在区间
上无零点，所以
…7分

（3）∵
，当
，
，∴函数
在区间
上是增函数。

∴
………8分

当
时，
，不符题意

当
时，

当
时，
，由题意有
在
上不单调，故













0

+





单调递减

最小值

单调递增



∴
① ……… 9分

当变化时，
变化情况如右：

又因为
时，

所以，对于给定的
，在在
上总存在两个不同的
，使得
成立，当且仅当满足下列条件

即
②
③ ………11分

令
,则
，令
，得

故
时，
，函数
单调递增

时，
，函数
单调递减

所以对任意的
，

由③得
④，由①④当
时，在
上总存在两个不同的
，使得
成立 ………14分