木镇中学2014-2015学年度第一学期10月份月考高二数学试卷

命题人：黄松 审题人：潘杰

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间：120分钟。所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合A={x|y=}，B={y|y=lg(x2+10)}，则A∪?RB=【 】

A．? B．[10，+∞) C．[1，+∞) D．R

（2）已知sin x＝2cos x，则＝【 】

A. B. C. D.

（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是【 】

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

（4）已知m，n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是【 】

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

（5）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为【 】

A．15,10,20 B．10,5,30 C．15,15,15 D．15,5,25

（6）若异面直线a，b分别在平面α、β内，且α∩β＝l，则直线l【 】

A．与直线a，b都相交 B．至少与a，b中的一条相交

C．至多与a，b中的一条相交 D．与a，b中的一条相交，另一条平行

（7）长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是【 】

A．20π B．25π C．50π D．200π

（8）如图是一个几何体的三视图，尺寸如图所示，（单位：cm），则这个几何体的体积是【 】

A．
cm3

B．
cm3

C．
cm3

D．
cm3

（9）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是【 】

A．(1)(2)(3) B．(1)(4) C．(1)(2)(4) D．(2)(4)

（10）如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在【 】

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）已知平面向量
，
，若
，则实数等于 .

（12）长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为 ．

（13）已知是函数
的零点，
，正数

满足
，则
的最小值为 .

（14）如右图所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则

异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 .

（15）从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体的4个顶点，这些几何体是（写出所有正确的结论的编号） .

①矩形

②不是矩形的平行四边形

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体

④每个面都是等边三角形的四面体

⑤每个面都是直角三角形的四面体

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

（16）（本小题满分12分）

设
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 面积为
，且S
=
cosA

（Ⅰ）求sin
A+sinAcosA的值;

（Ⅱ）若b
,b=
求.

（17）（本小题满分12分）

2010年上海世博会中国馆的建筑外观以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为主题，代表中国文化的精神与气质。如果将中国馆的下方架空层看成一个长方体，上方看成一个四棱台，则其直观图、主视图和侧视图近似如下图(精确到10m)。(台体的体积公式：
)

（Ⅰ）画出几何体的俯视图；

（Ⅱ）求证：

（Ⅲ）计算该几何体的体积。

（18）（本小题满分12分）

如图,长方体
中，
,
,是
的中点.

(Ⅰ)求证：直线
平面
；

(Ⅱ)求证：平面
平面
；

(Ⅲ)求三棱锥
的体积.

（19）（本小题满分13分）

已知数列
前项和
.数列
满足

，数列
满足
.

（Ⅰ）求数列
和数列
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和
.

（20）（本小题满分13分）

△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设EA＝AB＝2a，DC＝a，且F为BE的中点，如图所示．

（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；

（Ⅱ）求证：AF⊥BD

（21）（本小题满分13分）

如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

（Ⅰ）求证：BE＝DE；

（Ⅱ）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

木镇中学高二10月份月考数学试卷答案

选择题：DBDDA BCCCA

填空题：11、
12、 13、
14、  15、①③④⑤

解答题：

16. 解：(1)
tanA=2

原式=

（2）cosB=
sinB=

由

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

=
(sinA+cosA)=

由于
所以

17. 解：(1)俯视图如图所示：

(3)下部的体积为：

上部分的上底面积为：S=1402=19600

所以上部分的体积为：

18. (Ⅰ)证明：在长方体
中,
，

又 ∵
平面
，
平面

∴ 直线
平面

(Ⅱ)证明：在长方形
中,∵
,
,

∴
,

∴
,故
,

∵在长方形
中有
平面
,
平面
,

∴

,

又∵
,

∴直线
平面
,

而
平面
,

所以平面
平面
.

(Ⅲ)解：


.

19. 解：（1）由已知可得，当
时，

又
，符合上式.故数列
的通项公式

又∵
，∴
，

故数列
的通项公式为

（2）
，

， …………………①

，……②

①-②得

，

∴
.

20. (1)证明：如图所示，取AB中点G，连CG、FG.

∵EF＝FB，AG＝GB，

∴FG綊EA.

又DC綊EA，∴FG綊DC.

∴四边形CDFG为平行四边形，故DF∥CG.

∵DF?平面ABC，CG?平面ABC，

∴DF∥平面ABC.

(2)证明：∵EA⊥平面ABC，

∴AE⊥CG.

又△ABC是正三角形，

∴CG⊥AB.

∴CG⊥平面AEB.

又∵DE∥CG，

∴DF⊥平面AEB.

∴平面AEB⊥平面BDE.

∵AE＝AB，EF＝FB，

∴AF⊥BE.

∴AF⊥平面BED，

∴AF⊥BD.

21. (1)设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC＝CD知，CO⊥BD，

又已知CE⊥BD，所以BD⊥平面OCE.

所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，

所以BE＝DE.

(2)取AB中点N，连接MN，DN，

∵M是AE的中点，∴MN∥BE，

∵△ABD是等边三角形，∴DN⊥AB.

由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，

即BC⊥AB，

所以ND∥BC，

所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.