大庆市高三年级第一次教学质量检测

数学试题参考答案及评分标准（文科）

2013.9

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

B

D

C

B

C

A

D

A

B

C





二．填空题

（13）
； （14）
； （15）
； （16）
.

三. 解答题

（17）（本小题满分10分）

解：（I）∵
，∴
. …………………………3分

∴
. ……………………………4分

（II）由（I）知数列
是以为首项，为公差的等差数列，

∴
. …………………………6分

∴
， ∴公比
. …………………………8分

∴
. …………………………10分

（18）（本小题满分12分）

解：（I）由
且
得

，即
. ……………………………2分

∵
,∴
. ………………………………3分

∵
,∴
. ………………………………4分

由余弦定理,得
,

∴
,即
. ………………………………6分

（II）由正弦定理,得
,且
,…8分

∴
. ……………10分

∵
所以
,∴
的最大值是. …………………12分

（19）（本小题满分12分）

解：（I）∵
，∴
.又∵侧面
底面
，
,

且侧面
底面
，∴
底面
.

而
底面
，∴

. …………………4分

在底面
中，∵
，

，∴
，
,∴

.

又∵
， ∴
平面
. ……………………………7分

（II）在
上存在中点，使得
平面
， ……………………………8分

证明如下：设
的中点为，

连结
，
，
，

则
，且
.

由已知
，
，

∴
，且
，……………10分

∴四边形
为平行四边形，∴
.

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
. …………………………………12分

（20）（本小题满分12分）

解：（I）由题意可知
…………………………3分

（II）由题意可知第三车间共有工人数为
名，

则设应在第三车间抽取名工人，则
，
. ………………………7分

（III）由题意可知
，且
，满足条件的
有

共
组， ……………………………8分

记“第三车间女工比男工少”为事件，即
，上述
组中，满足
的
有

，共有
组 ……………………………9分

∴
………………………………11分

故第三车间中女工比男工少的概率为
. ………………………………12分

（21）(本小题满分12分)

解：（I）设椭圆
的方程为

，

由已知可得
…………………………………3分

解得：
，∴椭圆
的方程为
.………………………………5分

另解：（I）设椭圆
的方程为

，

椭圆
的两焦点坐标分别为
， ……………………………………1分

∴
， ……………………………………3分

∴
，又
，∴
，

故所求椭圆方程为
. …………………………………………5分

（II）当直线
轴时，计算得到：
，

，不符合题意.………………………………6分

当直线
与轴不垂直时，设直线
的方程为
，

由
消去得
， …………………7分

，设
，

则
，
， ……………………………………8分

， ………………………9分

又点
到直线
的距离
， …………………………………10分

∴
，

化简，得：
，即
，

∴
. ……………………………………11分

故所求直线方程为
和
. ……………………………12分

（II）另解：设直线
的方程为
，

由
消去得
，……………………………7分

，设
，

则
，
， …………………………………8分

∴
. ……9分

化简，得
，即
，

解得
. ……………………………………11分

故所求直线方程为
和
. ……………………………12分

（22）（本小题满分12分）

解：（I）函数的定义域为
.

因为
， …………………1分

令
，即
， …………………2分

当
时，
；当
时，
， …………………3分

所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
. …………………4分

故
在
处取得极小值
. …………………5分

（II）由
知,
. …………………6分

①若
，则当
时，
，

即
与条件矛盾； …………………7分

②若
，令
，则
，

当
时，
；当
时，
，

所以

， …………………9分

所以要满足条件不等式恒成立，只需
即可，

再令
，则
，当
时，
，当
时，
，

所以
在
上单调递减；在
单调递增，即
，所以

综上所述，的取值集合为
. …………………12分