大庆市高三年级第一次教学质量检测

数学试题参考答案及评分标准（理科）

2013.9

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

D

B

C

C

A

D

A

B

C

D





二．填空题

（13）
； （14）
； （15）
； （16）
.

三. 解答题

（17）（本小题满分10分）

解：（I）∵
，∴
. …………………………3分

∴
. ……………………………4分

（II）由（I）知数列
是以为首项，为公差的等差数列，

∴
. …………………………6分

∴
， ∴公比
. …………………………8分

∴
. …………………………10分

（18）（本小题满分12分）

解：（I）由
且
得

，即
. ……………………………2分

∵
,∴
. ………………………………3分

∵
,∴
. ………………………………4分

由余弦定理,得
,

∴
,即
. ………………………………6分

（II）由正弦定理,得
,且
,…8分

∴
. ……………10分

∵
所以
,∴
,

故
的取值范围是
. ………………………………12分

（19）（本小题满分12分）

解法一：

（I）∵
，∴
.又∵侧面
底面
，
,

且侧面
底面
，∴
底面
.

而
底面
，∴

. …………………3分

在底面
中，∵
，

，∴
，
,∴

.

又∵
， ∴
平面
. ……………………………6分

（II）设
为
中点，连结
，则

.

又∵平面
平面
，

平面
平面
，

,∴
平面
.

∵
，∴
.

过
作
于
，

∵
，∴
，

∴
，∴
是二面角
的平面角. ………………………9分

由已知得
，
, ∴
.由
和
相似得
，∴
.∴

∴
.

即二面角
的余弦值为
. ………………………………12分

解法二：

∵
，∴
.又∵侧面
底面
，

且侧面
底面
，
，∴
底面
.

又∵
，∴
，
，
两两垂直.

分别以
,
,
所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系，如图. ………2分

（I）
，则
，

，
，
，
.

∴
，
，
,

∴
，
，

∴

，

.

又∵
，∴
平面
. ………………………………6分

（II）由已知，
平面
，所以
为平面
的一个法向量 ……7分

设平面
的一个法向量是
，则

∵
，
，∴

取
，得平面
的一个法向量
. ………………………………10分

设二面角
的大小为
，由图可知，
为锐角，

∴
.

即二面角
的余弦值为
. ………………………12分

（20）（本小题满分12分）

解：（I）元件为正品的概率约为
． …………………………1分

元件为正品的概率约为
． …………………………2分

（II）（i）随机变量
的所有取值为
． …………………………3分

　　　
；
；

；
． ………………7分

所以，随机变量
的分布列为:























………………8分

． ………………9分

（ii）设生产的
件元件中正品有件，则次品有
件.

依题意，得
， 解得
．

∴
，或
． ………………10分

设“生产
件元件所获得的利润不少于
元”为事件，

则
． ……………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（I）函数的定义域为
.

因为
， …………………1分

令
，即
， …………………2分

当
时，
；当
时，
， …………………3分

所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
. …………………4分

故
在
处取得极小值
. …………………5分

（II）由
知,
. …………………6分

①若
，则当
时，
，

即
与条件矛盾； …………………7分

②若
，令
，则
，

当
时，
；当
时，
，

所以

， …………………9分

所以要满足条件不等式恒成立，只需
即可，

再令
，则
，当
时，
，当
时，
，

所以
在
上单调递减；在
上单调递增，即
，所以

综上所述，的取值集合为
. …………………12分

（22）（本小题满分12分）

解：（I）法一：设椭圆
的方程为

，

由已知可得
…………………………………3分

解得：
，∴椭圆
的方程为
.………………………………5分

法二：设椭圆
的方程为

，

椭圆
的两焦点坐标分别为
， ……………………………………1分

∴
， ……………………………………3分

∴
，又
，∴
，

故所求椭圆方程为
. …………………………………………5分

（II）解：由
得
………………………6分

由直线
与椭圆
仅有一个公共点知，
，

，化简得：
． ……………7分

设
，
…………………………8分

法一：

当
时，设直线
的倾斜角为
，则
，

∴
， ………………9分

………10分

∵
，∴当
时，
，令
，
，
，

当
时，
，∴
在
上为增函数，

∴
，∴
. ……………………………11分

当
时，四边形
是矩形，

所以四边形
面积
的最大值为
． ………………………………12分

法二：

当
时，设直线
的倾斜角为
，则
，

∴
， ………………9分

过点
做
，垂足为
，

则
，

∴
，

∴
，

令
，则
，

∵
，∴
，即
， ……………………………11分

当
时，四边形
是矩形，

所以四边形
面积
的最大值为
． …………………………12分

法三：

，

，

∴
.

∴四边形
面积
. ……………………10分

令
，
，
，

当
时，
，∴
在
上为减函数，

∴
，∴当
时，

所以四边形
的面积
的最大值为
． …………………………12分