一、选择题：每题只有唯一正确答案，每小题5分，共50分.

1.设全集
＜
，集合
，则
等于( )

（A）
（B）
（C）
（D）

2.复数
（为虚数单位）的模是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3.命题“
”的否定是 (　 　)

（A）
（B）不存在
使

（C）
（D）

4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

（A） （B）
（C）
（D）

5.右图所示的算法流程图中，正常运行时输出的结果是（ ）

（A）6 （B）5 （C）4 （D）3

6.若两正数，满足
，则
的最小值为（ ）

（A） （B）
（C） （D）

7.设、是两条不同的直线，、
是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）

（A）若⊥，⊥，则∥

（B）若∥，⊥
，则⊥

（C）若⊥
，⊥
，则∥

（D）若⊥，⊥，⊥
，则⊥

8.设偶函数
（

的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，

KL＝1，则
的值为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9.为参加校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训,培训项目及人数

分别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目,并且舞蹈和演唱项目必须有女

生参加,則不同的推荐方案的种数为 ( )

（A） （B）
（C）
（D）

10．定义在
上的函数
，当
时，
，则

函数
的所有零点之和等于（ ）

（A）10 （B）8 （C）6 （D）4

二、填空题：每题5分，共25分.

11.
展开式的常数项为 ▲ ．

12.成都市交警部门随机测量了顺河高架桥南下口某一时间段经过的2000辆汽车的时速，时速频率分布直方图如图所示，则该时段时速超过70 km/h的汽车数量为 ▲ .

13.在区间
上随机取一个数,使
的值介于到
之间的概率为 ▲ .

14.已知，
，且，
，
依次成等差数列，若
，则
的值为 ▲ .

15.设实数
是函数
的零点，则①
②

③若
，则
④若
，则
，其中正确的结论序

号为 ▲

三、解答题：共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16、（本题满分12分）已知
三内角、、所对边的长分别为、、，且

．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的值．

18、（本题满分12分）已知数列
中，
，当
时，
，数列
的前项和
满足
.

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）若

，求数列
的前项和
．

19、（本题满分12分）石室中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为
．

（Ⅰ）求该小组中女生的人数；

（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为
，每个男生通过的概率均为
。现对该小组中男生甲,男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量
，求
的分布列和数学期望.

20.（满分13分）某健身产品企业第一批产品上市销售，40天内全部售完.该企业对第一批产品上市后的市场销售进行调研，情况反馈大概如图（1）、（2）所示．其中市场的日销售量（单位：万件）与上市时间（天）的关系近似满足图（1）中的抛物线；每件产品的销售利润（元/件）与上市时间（天）的关系近似满足图（2）的折线．

（Ⅰ）写出市场的日销售量
与第一批产品上市时间t的关系式；

（Ⅱ）第一批产品A上市后的第几天，这家企业日销售利润最大，最大利润是多少？

21.（本题满分14分）已知函数

（Ⅰ）求函数
的极值点；

（Ⅱ）若函数
在
上有零点，求的最大值；

石室中学高2014届高三上期10月月考试题

数学（理科）

二、填空题：每题5分，共25分.

11.
展开式的常数项为 20 ．

12.成都市交警部门随机测量了顺河高架桥南下口某一时间段经过的2000辆汽车的时速，时速频率分布直方图如图所示，则该时段时速超过70 km/h的汽车数量为 200 .

13.在区间
上随机取一个数,
的值介于0到
之间的概率为 .

解析：在区间
上随机取一个数,即
时,要使
的值介于0到
之间,

需使
或
∴
或
，区间长度为
，由几

何概型知
的值介于0到
之间的概率为
.

14.已知，
，且，
，
依次成等差数列，若
，则
的值为

15.设实数
是函数
的零点，则①
②

③若
，则
④若
，则
，其中正确的结论序

号为 ① ④

三、解答题：共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16、（本题满分12分）已知
三内角、、
所对边的长分别为、
、，且

．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的值．

解：（Ⅰ）由正弦定理得
………3分

所以
…………6分

（Ⅱ）
，
得
或
…………9分

所以
或
…………12分

17、（本题满分12分）如图，正方形
边长为2，
平面
，
，
，为
的中点

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
与平面
所成的角为
，求二面角
的余弦值．

解：（Ⅰ）建系如图设

，则

所以可计算得平面
的一个法向量为
，

即
，所以
平面
…………6分

所以
………11分

二面角
的余弦值为
…………12分

18、（本题满分12分）已知数列
中，
，当
时，
，数列
的前项和
满足
.

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前项和
．

解：（Ⅰ）
；………3分

………6分

（Ⅱ）

两段可以合并，所以
……12分

19、（本题满分12分）石室中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为
．

（Ⅰ）求该小组中女生的人数；

（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为
，每个男生通过的概率均为
。现对该小组中男生甲,男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量
，求
的分布列和数学期望。

20.（本题满分13分）某公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品上市后的市场销售进行调研，结果如图（1）、（2）所示．其中（1）的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系；（2）的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系．

（Ⅰ）写出市场的日销售量
与第一批产品上市时间t的关系式；

20、解：（Ⅰ）设
，由
可知

即

；…………5分

（Ⅱ）设销售利润为
万元，则

…………9分

当
时，
单调递减；且
的最大值为
…………10分

当
时，
，易知
在
单增，
单减，而
，故比较
，经计算，
，………12分

故第一批产品A上市后的第27天这家公司日销售利润最大，最大利润是
万元．…………13分

21.（本题满分14分）已知

（Ⅰ）求函数
的极值点；

（Ⅱ）若函数
在
上有零点，求的最大值；

（III）若
，试问数列
中是否存在
？若存在，求出所有相