高三数学第一次检测

一、选择题（每小题5分，共60分）

1、设A={
}，集合B为函数
的定义域，则AB=（ ）

A.（1，2） B.[1，2] C.[ 1，2） D.（1，2 ]

2、已知对任意实数，有
，
，且
时，
，
，则
时 （　）

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

3、下列命题中是真命题的为(　　)

A． x∈R，x2

B． x∈R，x2≥x＋1

C． x∈R， y∈R，xy2＝y2

D． x∈R， y∈R，x>y2

4、设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
（ ）

A．2 B．
C．
D．

5、已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)

A．m>2＋ B．m≤2＋

C．m≥2 D．m≥6

6、设
，若函数
，
有大于零的极值点，则（ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知条件p:x≤1，条件q:
＜1，则p是q成立的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件

8、若关于x的方程
有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）

A．
　　　　　B．
C．
　　　　 D．

9、若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　)

A．00 B．a>1，且b>0 C．01，且b<0

10、函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)

A．(－1,1)　　　　B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

11、若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)

A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3

B．－3

C．－2

D．不存在这样的实数

12、函数f(x)对任意x∈R，满足f(x)＝f(4－x)．如果方程f(x)＝0恰有2011个实根，则所有这些实根之和为(　　)

A．0 B．2011 C．4022 D．8044

二、填空题（每小题4分）

13、若幂函数f(x)的图象经过点A，则它在A点处的切线方程为________．

14、设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.

15、若函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．

16、关于函数
，有下列命题：

①其图象关于y轴对称；

②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；

③f(x)的最小值是lg2；

④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数；

⑤f(x)无最大值，也无最小值．

其中所有正确结论的序号是 ．

17、已知函数f(x)＝1－(a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．

(1)求a的值； (2)求函数f(x)的值域；

(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．

18、已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．

19、（本小题满分12分）已函数
是定义在
上的奇函数,在
上

（1）求函数
的解析式;并判断
在
上的单调性(不要求证明)

（2）解不等式
．

20、已知命题p：在x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f(x)＝

是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．

21．已知函数f(x)＝x2＋aln x.

(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；

(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．

22、已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，a∈R.

(1)若a＝1，求f(x)的极小值；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3.

附加题：1、已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.

(1)求f(x)的解析式及单调区间；

(2)若f(x)≥x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值

高三数学第一次检测

DBCDD BBCCB BC

13、4x－4y＋1＝0 14、0 15、a≤－4 16、①③④

17、[解析]　(1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝0. 即1－＝0， 解得a＝2.

(2)∵y＝，∴2x＝，由2x>0知>0，

∴－1

(3)不等式tf(x)≥2x－2即为≥2x－2.

即：(2x)2－(t＋1)·2x＋t－2≤0.设2x＝u，

∵x∈(0,1]，∴u∈(1,2]．

∵u∈(1,2]时u2－(t＋1)·u＋t－2≤0恒成立．

∴，解得t≥0.

18、[解析]　集合A是方程ax2－3x＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．

(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解，得∴a>，

即实数a的取值范围是(，＋∞)．

(2)当a＝0时，方程只有一解，方程的解为x＝；

当a≠0时，应有Δ＝0，

∴a＝，此时方程有两个相等的实数根，A中只有一个元素，

∴当a＝0或a＝时，A中只有一个元素，分别是和.

(3)A中至多有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a＝0或a≥，即a的取值范围是{a|a＝0或a≥}．

19、解：（1） 设
，则

又
是奇函数，所以
，
=
……3分

…………………………………………………4分

是[-1，1]上增函数 ……………………………………………….6分

（2）
是[-1，1]上增函数，由已知得:
…………….7分

等价于
………………………………………………...10分

不等式的解集为
………………………………………………

20、[解析]　∵x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立

∴a>＝－x在x∈[1,2]上恒成立

令g(x)＝－x，则g(x)在[1,2]上是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝1，

∴a>1.即若命题p真，则a>1.

又∵函数f(x)＝(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数，

∴u(x)＝x2－2ax＋3a是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)＝x2－2ax＋3a>0在[1，＋∞)上恒成立，

∴a≤1，u(1)>0，∴－1

即若命题q真，则－1－1.

21、[解析] (1)解　由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f′(x)＝x－＝，[1分]

令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，[2分]

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，

因此函数f(x)在(0,1)上是减少的，[3分]

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是增加的，[4分]

所以f(x)在x＝1处取得极小值为.[5分]

(2)解　当a＝1时，易知函数f(x)在[1，e]上是增加的，[6分]

∴f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1.[7分]

(3)证明　设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln x－x3，

则F′(x)＝x＋－2x2＝，[9分]

当x>1时，F′(x)<0，

故f(x)在区间[1，＋∞)上是减少的，又F(1)＝－<0，

∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．

即f(x)

因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．

22、[解析]　(1)∵f(x)＝x－lnx，f ′(x)＝1－＝，

∴当0

当10，此时f(x)单调递增．∴f(x)的极小值为f(1)＝1.

(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－lnx，x∈[0，e]有最小值3，f ′(x)＝a－＝，

①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递增，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，所以，此时f(x)最小值不为3；

②当0<

③当≥e时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，所以，此时f(x)最小值不为3.

综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值为3.

附加题：解：(1)∵f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，

∴f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x，

令x＝1得：f(0)＝1，

∴f(x)＝f′(1)ex－1－x＋x2，

∴f(0)＝f′(1)e－1＝1，

∴f′(1)＝e得：f(x)＝ex－x＋x2.

∵g(x)＝f′(x)＝ex－1＋x，

g′(x)＝ex＋1>0，

∴y＝g(x)在x∈R上单调递增．

令f′(x)>0＝f′(0)，得x>0，令f′(x)<0＝f′(0)得x<0，

∴f(x)的解析式为f(x)＝ex－x＋x2且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．

(2)由f(x)≥x2＋ax＋b得

ex－(a＋1)x－b≥0，

令h(x)＝ex－(a＋1)x－b，则h′(x)＝ex－(a＋1)．

①当a＋1≤0时，h′(x)>0?y＝h(x)在x∈R上单调递增．

x→－∞时，h(x)→－∞与h(x)≥0矛盾．

②当a＋1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a＋1)，由h′(x)<0得x

(a＋1)b≤(a＋1)2－(a＋1)2ln(a＋1)(a＋1>0)．

令F(x)＝x2－x2lnx(x>0)；

则F′(x)＝x(1－2lnx)，

由F′(x) >0得0，

当x＝时，F(x)max＝，∴当a＝－1，b＝时，(a＋1)b的最大值为.