2015.4

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1．设集合
，集合
，则
等于

A． (1,2) B． (1,2] C． [1,2) D． [1,2]

2．下面是关于复数
的四个命题:
:
，

，
的共轭复数为

，
的虚部为，其中真命题为

　 A．
B．
C．
D．

3．下列四个结论：①若
，则
恒成立；

　　②命题“若
”的逆命题为“若
”；

　　③“命题
为真”是“命题
为真”的充分不必要条件；

　　④命题“
”的否定是“
”．

　　其中正确结论的个数是

　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形

边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是

A．
B．

C．
D．

5．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出i的结果为

A．7 B．9 C．10 D．11

6．已知实数
满足
，若目标函数
的最大值为
，

最小值为
，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

7．对于函数
，下列说法正确的是 A．
是奇函数且在（
）上递增 B．
是奇函数且在（
）上递减

C．
是偶函数且在（
）上递增 D．
是偶函数且在（
）上递减

8．定义：在数列
中，若满足
（
，d 为常数），称
为“等

差比数列”。已知在“等差比数列”
中，
则

A．
B．
C．
D．

9．设函数
在区间
上的导函数为
，
在区间
上的导函数为
，若在区间
上
恒成立，则称函数
在区间
上为“凸函数”；已知
在
上为“凸函数”，则实数m的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有

A．80 种 B．70 种 C．40 种 D．10种

11．已知椭圆C:
的左右焦点为
，若椭圆C上恰好有6个

不同的点，使得
为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．

12. 已知实数
满足
其中是自然对数的底数 , 则

的最小值为

A．8 B．10 C．12 D．18

第Ⅱ卷

填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.已知向量
＝(1，)，
＝(3，m)．若向量
在
方向上的投影为3，则实数m＝

14.已知
，则二项式
的展开式中的系数为

15．对于集合
，定义：

的“正弦方差”，则集合
的“正弦方差”为 。

16．已知动点P在棱长为1的正方体

的表面上运动，且
，记点P的轨迹长度为
.给出以下四个命题：

①
；

②
；

③

④函数
在
上是增函数，
在
上是减函数。

其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足b2＋c2＝bc＋a2.

（1）求角A的大小；

（2）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA＝1，且a2，a4， a8成等比数列，求{}的前n项和Sn.

（本小题满分12分）

某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中,随机发放了l20份问巻。对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2 x2列联表:

做不到光盘

能做到光盘

合计



男

45

10

55



女

30

15

45



合计

75

25

100



（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为
，试求随机变量
的分布列和数学期望

（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由。

附：独立性检验统计量K2=
, 其中
，

独立性检验临界表：

P(K2k0)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025



k0

1.323

2.072

2.706

3.840

5.024



19．（本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面
平面
，
与
是边长为的等边三角形，
，
和平面
所成的角为
，且点在平面
上的射影落在
的平分线上．

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为M，N，|MN|＝．

（1）求抛物线E的方程；

（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且
（其中 O为坐标原点）．

①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；

②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．

21．（本小题满分12分）

设函数
，其中和
是实数，曲线
恒与轴相切于坐标原点．

（1）求常数
的值；

（2）当
时，关于的不等式
恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：对于任意的正整数，不等式
恒成立.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示,
为圆
的切线,为切点,

，

的角平分线与
和圆
分别交于点和．

（1）求证

（2）求
的值．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，圆的参数方程
为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆的极坐标方程；

（2）直线
的极坐标方程是
，射线
与圆的交点为
，与直线
的交点为
，求线段
的长．

数学（理）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

B

A

B

A

D

C

D

C

D

A



二、填空题

13． ； 14.
； 15.
； 16. ①④

三、解答题

17.解：　(1)∵b2＋c2－a2＝bc， ∴＝＝. ∴cosA＝.

又A∈(0，π)，∴A＝. …………… 5分

(2)设{an}的公差为d， 由已知得a1＝＝2，且a＝a2·a8.

∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)( a1＋7d)． 又d不为零，∴d＝2. …………… 9分

∴an＝2n. …………… 10分

∴＝＝－. …………… 11

∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.…………… 12分

18. 解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样方法取得的，所以9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘。……………………2分

………………………………………………………………………………………………6分

所以
……………………8分

（2）

…………10分

因为
,所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即精确的值应为
………………………………12分

19. 解：（1）由题意知，
，
都是边长为2的等边三角形，取
中点
，连接
，则
，
，……………………2分

又∵平面
⊥平面
，∴
⊥平面
，作
⊥平面
，

那么
，根据题意，点落在
上，

∴
，易求得
，…………4分

∴四边形
是平行四边形，∴
，∴
平面
…………6分

（2）解法一：作
，垂足为
，连接
，

∵
⊥平面
，∴
，又
，

∴
平面
，∴
，∴
就是二面角
的平面角．…………9分

中，
，
，
．

∴
．即二面角
的余弦值为
.………12分

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系
，可知平面
的一个法向量为

设平面
的一个法向量为

则，
可求得
．………………9分

所以
，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角
的余弦值为
．……12分

20.解：（1）由已知得K(－，0)，C(2，0)．

设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|MR|＝．

由
得：
或
（舍去），

即
，所以直线AB过定点
；…………………7分

(ⅱ)由(ⅰ)得
，

同理得，

则四边形AGBD面积

令
，则
是关于的增函数，

故
.当且仅当
时取到最小值88 …………………12分

21. 解：(1) 对
求导得：
，根据条件知
，所以
. ……………2分

(2) 由(1)得
，

.

① 当
时，由于
，有
，于是
在
上单调递增，从而
，因此
在
上单调递增，即
而且仅有