宁波市2016届高三五校5月适应性考试

数学（文）试题

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

注意：本卷考试时间120分钟，请考生将所有题目都做在答题卷上。

参考公式：

球的表面积公式 柱体的体积公式

S=4πR2 V=Sh

球的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

V=
πR3 台体的体积公式

其中R表示球的半径 V=
h(S1+
+S2)

锥体的体积公式 其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积，

V=
Sh h表示台体的高

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.命题“对任意的
，都有
成立”的否定是( 　　)

A．对任意的
，都有
成立 B．对任意的
，都有
成立

C．存在
，使得
成立 D．存在
，使得
成立

2.已知集合
，
，则
( 　　)

A．
B．
C．

D．

3．直线
与直线
，则“
”是“
”的( 　)

A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知函数
，
，则下列结论中正确的是( 　　)

A．函数
的最小正周期为

B．函数
的最大值为1

C．函数
的一个单调递增区间为

D．
与
的奇偶性相同

5. 设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则能得出
的是( 　　)

A.
，
，
B.
，
，

C.
，
，
D.
，
，

6．已知等差数列
的前
项和为
，若
＝170，则
的值为( 　　)

A．10 B．20 C．25 D．30

7. 如图,在△
中,
,
是
上的一点,若
,则实数
的值为( 　　)

A.
B
C. 1 D. 3

8．如图，已知双曲线
的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q．若∠PAQ= 60°且
，则双曲线C的渐近线方程为( 　　)

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）

9.已知椭圆
的左焦点为
，则
＝________，离心率为________．

10．已知函数
，则
，
的最小值是 ．

11. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积

为 cm3，表面积为 cm2．

12.设实数
满足
，则动点
所形成区域的

面积为 ，
的取值范围是_____．

13．如图，平面
的斜线
交
于
点，且与
所成的角为
，平面
内有一动点
满足
，若动点
的轨迹为椭圆，则
的取值范围为________．

14.已知函数
，若
，则
的取值范围是________．

15．已知点
在Rt△
所在平面内，
，
为锐角，
，
，
．当
取得最小值时，
_____．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本题满分14分）

在
中，
为边
上一点，
，已知
，

（1）若
，求角
的大小；

（2）若
的面积为
，求边
的长.

17．（本题满分15分）

设数列
为等比数列,数列
满足
,
,已知
,
,其中
.

(1) 求数列
通项(用
表示);

(2) 设
为数列
的前
项和,若对于任意的正整数
,都有
,求实数
的取值范围.

18．（本小题满分15分）

如图,边长为2的正方形
中,点
是
的中点,点
是
的中点,将△
、△
分别沿
、
折起,使
、
两点重合于点
,连接
,
．

（1）求证:
;

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（本题满分15分）

过直线
上一动点
（
不在
轴上）作抛物线
的两条切线，
为切点，直线
分别与
轴交于点
．

（1）证明直线
恒过一定点；

（2）证明△
的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值．

20．（本题满分15分）已知函数
，其中
为实数且
.

（1）当
时，根据定义证明
在
上单调递增；

（2）求集合
.

2016年宁波市高三五校适应性考试

数学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

A

C

C

D

A

B





二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

9.3;
10.
11. 12;
12.

13.
14.
15.

三、解答题：本大题有5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.解( 1）在
中,由正弦定理得
………………………………2分

则
，则
，……………………………………………………4分

所以
或
,……………………………………………………5分

又
，所以
或
.……………………………………………………7分

(2) 由已知得
，即
得,
……………………………10分

又由余弦定理得
得
，………………………13分

又
，所以
。…………………………14分

17.解(1) 由已知
,所以
, …………………………………………………1`分

, 所以
, ……………………………………………………3分

解得
,所以数列
的公比
.………………………………………………5分

……………………………………………………7分

(2)
, ……………………………………………………9分

因为
,所以,由
得
, …………11分

注意到,当
为奇数时
,当
为偶数时
,

所以
最大值为
,最小值为
. …………………………………13分

对于任意的正整数
都有
,

所以
,
.

即所求实数
的取值范围是
. ………………………………………………15分

18.解析：（Ⅰ）在正方形
中,有
,

则
,
……………………………………………………4分

又

∴
平面
……………………………………………………6分

而
平面
,∴
……………………………………………………7分

（Ⅱ）方法一: ∵正方形
的边长为2,点
是
的中点,点
是
的中点,

∴
,

∴
∴
,∴

由（Ⅰ）得
平面
,

∴分别以
,
,
为
,
,
轴建立如图所示的空间直角坐标系
, ……………………………………………………9分

则
,
,
,

∴
,
,

设平面
的一个法向量为
,

则由
, 可取
…………………………………………………11分

令直线
与平面
所成角为
，∴
…14分

∴直线
与平面
所成角的正弦值为
……………………………………………………15分

方法二: 连接
交
于点
,连接

∵在正方形
中,点
是
的中点,点
是
的中点,

∴
,
,

∴点
为
的中点, 且

∵正方形
的边长为2,∴
,∴
,
,

在面
的射影在
上, ……………………………………………………9分

则
直线
与平面
所成角……………………………………………………11分

由（Ⅰ）可得
,

∴△
为直角三角形

∵正方形
的边长为2,

∴
,
,

∴
,
,

又

∴
……………………………………………………14分

∴

∴直线
与平面
所成角的正弦值为
…………………………………………15分

19.证明 （1）设
，
，
.

抛物线
的过点
的切线方程为
：
．而
过
，故

①

①式说明直线
恒过点
．

……………………2分

同理可证得直线
恒过点
……………………………3分．

故直线
过
两点，则直线
的方程为：