杭州学军中学2016届高三5月高考模拟考试

数学（文）试题

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷指定区域填写姓名、准考证号。

3．所有答案必须写在答题卷和机读卡上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷和机读卡。

参考公式：

柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.

锥体的体积公式：V=
Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.

球的表面积公式：S=4πR2 ，其中R表示球的半径.

球的体积公式：V=
πR3 ，其中R表示球的半径.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1.已知全集
，集合
或
，
或
，则
( )

A.
B.
C.
　　 D.

2．已知直线
和平面
，则下列结论正确的是( )

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

3. 若
是
的充分不必要条件，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A.16 B. 26

C. 32 D.

5. 已知函数
的最小正周期为

，为了得到函数
的图象，只要将
的图象 ( )

A. 向左平移
个单位长度 B. 向右平移
个单位长度

C. 向左平移
个单位长度 D. 向右平移
个单位长度

6. 设关于x, y的不等式组
表示的平面区域内存在点P
满足
, 则实数
的取值范围是( )

A.
　 B.
　 C.
　　 D.

7．设
为椭圆
与双曲线
的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点
,△
是以线段
为底边的等腰三角形.若双曲线
的离心率
，则椭圆
的离心率取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
　 D.

8. 定义在
上
满足

，当
时，

若
时，
恒成立，则实数
的取值范围是 （ ） A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、 填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9.已知
，则
，

= .

10.已知等比数列
的公比
，前
项和为
．若
成等差数列，
，则
_______，
_______．

11.已知直线
：
,若直线
与直线
垂直，则
的值为______.动直线
：
被圆
：
截得的最短弦长为 .

12.已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 ，当
取到最大值时
= .

13.已知三棱锥
所有顶点都在球
的球面上，且
平面
，若
，
，则球
的表面积为 .

14.若存在实数
同时满足
，
，则实数
取值范围是 ．

15．设
，
，
，且
，则
在
上的投影的取值范围是 .

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（14分）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，

已知
．

(Ⅰ) 求角
的大小；

(Ⅱ) 若
，且
是锐角三角形，求实数
的取值范围．

17.（15分）如图，矩形
所在的平面和平面
互相垂直，等腰梯形
中，

，
，
，
,
分别为
的中点，
为

底面
的重心.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值.

18.(15分)已知数列
的前
项和
，

数列
满足
．

（Ⅰ）求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，数列
的前
项和为
，求满足
的
的最大值．

19.（15分）已知抛物线
：
，过点
的动直线l与
相交于
两点，抛物线
在点A和点B处的切线相交于点Q，直线
与x轴分别相交于点
.

（Ⅰ）写出抛物线
的焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：点Q在直线
上；

（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形
为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

20.（15分）已知函数
，
．

（Ⅰ）当
时，函数
在区间
上的最大值为
，试求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当
时，若不等式
对任意
（
）恒成立，求实数k的取值范围．

2016年杭州学军中学高考模拟考试

文科数学参考答案

1—8 BBAC DDCA

9.
10.
11. 0或2

12.
13.
14.

15..

16. 【答案】（1）
;（2）

解(Ⅰ) 由题意得

……………………………………（4分）

……………………………………（7分）

(Ⅱ)
……………………………（10分）

为锐角三角形，且

……………………………………（13分）

．……………………………………（14分）

17.解:（Ⅰ）连结
延长交
于
，则
为
的中点，又
为
的中点，

∴
∥
，又∵
平面
，∴
∥平面
……………………3分

连结
，则
∥
，
平面
，∴
∥平面

∴平面
∥平面
，
平面

……………………7分

（Ⅱ）作AQ⊥EF交EF延长线于Q,作AH⊥DQ交DQ于H，则AH⊥面EQDC……………9分

∴∠ACH就是直线AC与平面CEF所成角 ……………11分

在Rt
ADQ中，AH=

在Rt
ACH中，sin∠ACH=

直线AC与平面CEF所成角正弦值为
……………15分

18.解：（Ⅰ）在
中，令
，可得
，
．

当
时，
，

所以
．即
．

而
，∴
．

即当
，
，又
，

所以，数列
是首项和公差均为1的等差数列． ……………………………5分

于是
，所以
． ……………………………7分

（Ⅱ）因为
，

所以
． ……………………………9分

．

……………………………11分

由
，得
，即
．

又
单调递减，
，

∴
的最大值为4．? ?…………………………15分

19.（Ⅰ）解：焦点坐标为
，准线方程为
. ………………2分

（Ⅱ）证明：由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为
.

由方程组
得
，

由题意，得
.

设
，
，则
，
， ……………4分

所以抛物线在点
处的切线方程为
，

化简，得
， 

同理，抛物线在点
处的切线方程为
.  ……………6分

联立方程，得
，

即
， 因为
，所以
，

代入，得
，所以点
，即
.

所以点Q在直线
上. ………………8分

（Ⅲ）解：假设存在点P，使得四边形
为矩形，

由四边形
为矩形，得
，即
，

所以
，即
. 由（Ⅱ），得
，

解得
. 所以
. ………10分

以下只要验证此时的四边形
为平行四边形即可.

在中，令
，得
. 同理得
.

所以直线
的斜率为
，

直线
的斜率
， ………………13分

所以
，即
.

同理
.

所以四边形
为平行四边形.

综上所述，存在点
，使得四边形
为矩形. ………………15分

20.【解析】（Ⅰ）∵
，∴
在
上递减，在
上递增，

又∵
在区间
上的最大值为
，

∴
，得
，∴
，即
； …6分

（Ⅱ）∵
∴