杭州学军中学2016届高三5月高考模拟考试

数学（理）试题

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．所有答案必须写在答题卷和机读卡上，写在试题卷上无效；

3．考试结束后，上交答题卷和机读卡。

参考公式：

柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.

锥体的体积公式：V=
Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.

球的表面积公式：S=4πR2 ，其中R表示球的半径.

球的体积公式：V=
πR3 ，其中R表示球的半径.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1.已知集合
或
，
或
，则
( )

A.
B.
C.
　　 D.

2．已知直线
和平面
，则下列结论正确的是( )

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

3. 若“
”是“
”的充分不必要条件，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A.16 B.32

C.63 D.

5. 已知函数
的最小正周期为
，为了得到函数
的图象，只要将
的图象 ( )

A. 向左平移
个单位长度 B 向右平移
个单位长度

C 向左平移
个单位长度 D 向右平移
个单位长度

6. 设关于x, y的不等式组
表示的平面区域内存在点P
满足
则实数
的取值范围是( )

A.
　 B.
　 C.
　　 D.

7.如图，在三棱锥
中，已知
面
，
，点
在
上，
，设
，
，用
表示
，记函数

，则下列表述正确的是(　　)

A．
是关于
的增函数 B．
是关于
的减函数

C．
关于
先递增后递减 D．
关于
先递减后递增

8. 已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过
作圆
的切线分别交双曲线的左、右两支于点
、
，且
，则双曲线的离心率为（ ）

A. 3 B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、 填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9.若
，则
，
= .

10.已知直线
：
,若直线
与直线
垂直，则
的值为______

动直线
：
被圆
：
截得的最短弦长为 .

11．已知等比数列
的公比
，前
项和为
．若
成等差数列，
，则
_______，
_______．

12.设函数

，则
＝ .

若

,则
.

13．如图，在二面角A-CD-B中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD， AB=3.现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是_________.

14．已知实数
，若
则
的值域为

15.在
中，已知
，
，若
，且
，则
在
上的投影的取值范围是 .

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16（14分）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，

已知
．

(Ⅰ) 求角
的大小；

(Ⅱ) 若
，且
是锐角三角形，求实数
的取值范围．

17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥
中，
，且
.

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成的角的正弦值．

18.(本小题满分15分)已知函数
．

（Ⅰ）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

（Ⅱ）若
，设函数
在
上的最大值为
，求
的最小值.

19. （本小题满分15分）已知椭圆
，过直线
上一点
作椭圆的切线，切点为
，当
点在
轴上时，切线
的斜率为

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 设
为坐标原点，求△
面积的最小值。

20. （本小题满分15分）已知数列
满足：
，
．(
)

(Ⅰ) 证明：
；

(Ⅱ) 求证：

2016年杭州学军中学高考模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题（ 答案请填入答题卡中）

1

2

3

4

5

6

7

8



B

B

A

B

D

D

B

C





二、填空题（本大题共7小题，共36分）

9.
,3 10.0或2,

11.2,
12.5,1 或

13.
14.

15.

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

16．【解析】：解(Ⅰ) 由题意得

……………………………………（4分）

……………………………………（6分）

(Ⅱ)
……………………………（10分）

为锐角三角形，且

……………………………………（13分）

．……………………………………（14分）

17.【解答】证明：（1）∵BC=BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，

∵AB∥CD，∴CD=2AB，

∴AB∥DE，且AB=DE，∴四边形ABED是矩形，

∴BE∥AD，BE=AD，AB⊥AD，

∵AB⊥PA，又PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，

∴CD⊥PD，且CD⊥AD，

又∵在平面PCD中，EF∥PD，∴CD⊥EF，

∵EF∩BE=E，∴EF?平面BEF，BE?平面BEF，

又CD⊥BE，∴CD⊥平面BEF，

∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．………………………（5分）

（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标角系，

∵PB=BC=BD=
，CD=2AB=2
，∠PAD=120°，

∴PA=
=
=2，AD=BE=
=2，

BC=
=
=2，………………………（7分）

则P（0，﹣1，
），D（0，2，0），B（
），C（2
，2，0），

=（0，3，﹣
），
=（﹣
），
=（
），

设平面PBC的法向量
=（x，y，z），

则
，取x=
，得
=（
，
），

设直线PD与平面PBC所成的角为θ，

sinθ=|cos＜
＞|=|
|=|
|=
．………………………（14分）

∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为
．…………….（15分）

18．题解析：解：（Ⅰ）不等式
对
恒成立，即
（*）对
恒成立，

①当
时，（*）显然成立，此时
； ………………………2分

②当
时，（*）可变形为
，令

因为当
时，
，当
时，
，………………………4分

所以
，故此时
.

综合①②，得所求实数
的取值范围是
. ………………………6分

（Ⅱ）
…………7分

① 当
时，即
，

…………9

②当
时，即
，

此时
…………11分

③ 当
时，即
，

此时
…………………………13分

综上：

…………………………15分

19.（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：

，椭圆方程为
………………………-5

（2）设切线为
，设
，
，

则

，-………………………7

且
，

则
，

PA直线为
，A到直线PO距离
，………………………-10

则

-………………………-13

，此时
………………………-15

20．（1）


，

可得：
------------------------------------------5

（2）
，

所以：

，

累加得：
---------------------------------------------10

(该不等式右边也可以用数学归纳法证明)

另一方面由
可得：原式变形为

所以：

累加得
------------------------------------------15

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