浙江省杭州高级中学2016届高三5月模拟考试

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟． 试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

球的表面积公式 棱柱的体积公式

S=4πR2 V=Sh

球的体积公式 其中S表示棱柱的底面积， h表示棱柱的高．

V=
πR3 棱台的体积公式

其中R表示球的半径 V=
h(S1+
+S2)

棱锥的体积公式 其中S1、S2表示棱台的上、下底面积，h表

V=
Sh 示棱台的高．

其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
,
,则
( )

A．
B．
C．
D．

2．已知函数
，则函数
在区间

上的零点个数是（ ）

A．1　　　　 B．2　　　 　 C． 3　　　 D．4

3．已知
，且
，则
的值是( )

A． 7 B．
C．
D． 98

4．设
中，角
所对的边分别为
，则“
”的一个充分非必要条件是 ( )

A．
B.

C.
D.

5．已知数列
的前
项和为
，对任意正整数
，
，则下列关于
的论断中正确的是（ ）

．一定是等差数列
．一定是等比数列

．可能是等差数列，但不会是等比数列
．可能是等比数列，但不会是等差数列

6．已知不等式组
所表示的平面区域为M，不等式组
所表示的平面区域为N，若M中存在点在圆C：
内，但N中不存在点在圆内，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知双曲线方程为
，
，
，
是双曲线的左顶点，
是双曲线的左焦点，直线
与
相交于
，若双曲线离心率为2，则
的余弦值为( )

A．
B．
C．
D．

8．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且P到直线BC与直线C1D1的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P的轨迹在展开图中的形状是（　　）

A．
 B．

C．
 D．


第Ⅱ卷

二、填空题：本大题有7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置.

9．在等差数列
中，
，
，则
，设

，则数列
的前
项的和
.

10．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ；几何体的体积是 。

11．函数
的部分图象如图，则函数表达式为 ；若将该函数向左平移1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
倍得到函数
。

12．设圆
与抛物线
相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若过点F且斜率为1的直线
与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为
，则|P1P2|+|P3P4|的值 ，若直线m与抛物线相交于M，N两点，且与圆相切，切点D在劣弧上，则|MF|+|NF|的取值范围是 。

13．设
为正数，且
.则
的最大值为

14．在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，
，

若
，则
与
的夹角的余弦值等于 ．

15．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为15°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值为__________

三、解答题：本大题共5小题,满分74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16．在
中，
分别为
所对边，
，

(1) 求边长
的值；（2）若
为
的中点，求线段
的范围。

17．在矩形
中，
，
，将
沿
折起，使得点
折起至
，设二面角
的大小为
．

（1）当
时，求
的长；（2）当
时，求
与平面
所成角的正弦值．

18．设函数
，
。

（1）若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围；

（2）若存在
，使得
与
同时成立，求实数
的最小值。

19．如图,焦点在
轴的椭圆，离心率
，且过点
（-2，1），由椭圆上异于点
的
点发出的光线射到
点处被直线
反射后交椭圆于
点(
点与
点不重合).

（1）求椭圆标准方程；

（2）求证:直线
的斜率为定值；

（3）求
的面积的最大值．

20. 数列
定义为
，
，
，

（1）若
，求
的值；

（2）当
时，定义数列
，
，
，是否存在正整

数
，使得
。如果存在，求出一组
，如果不存在，说明理由。

2016届热身卷答案

一、DCBB CDCB

二、9

10 28＋8π. 12＋4π. 11

12

13 3 14
15

三. 16．（1）

（2）方法一：易得

又

方法二：以AB所在直线为x轴，中垂线为y轴，则C的轨迹方程是
三角代换，可得
故

17．（1）在图1中，过
作
的垂线交
于
，交
于
，

则
，

从而

如图2，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系。

，

（2）当
时，

由余弦定理知

又易知
平面
，故有

所以
平面

，

故
，又
，

求得
的法向量
:]

又

设
与平面
所成角为
，

18解：（I）由已知，
在
上有两个不同的实数解，所以
，即
，

解得
。…………6分

（II）由已知，

（1）+（2）得
，得
，…………8分

再由（2）得
，由（1）得
，得
。…………10分

于是，问题等价于：
，且存在
满足
。…………12分

令
，
，

因为
在
上单调递减，

所以
，即

故实数
的最小值为7。…………15分

19解：（1）设椭圆方程为
,

,椭圆经过点

椭圆方程为
5分

（2）设直线
方程为
，则直线
的方程为

由
可得

,设
, 由
可得

,

同理可得

10分

（3）由（2），设
的方程为
.由
联立得：

令
，得
，

设
，则

,

设原点
到直线的距离为
，则

,

当
时，
面积的最大值为
15分

20. （1）
，

所以

故

所以

（2）由
，

得
，两边平方

所以

当
时，由
知
，

又
，数列
递增

所以

类似地，
，

又
，

，

所以

存在正整数
，

存在一组

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