2016年温州市高三第二次适应性测试

理科数学

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知实数
满足
，则
（ ）

A．最小值为-1，不存在最大值 B．最小值为2，不存在最大值

C．最大值为-1，不存在最小值 D．最大值为2，不存在最小值

3.直线
与直线
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）

A．4 B．
C．8 D．

5.设集合
，在
上定义运算
：
，其中
为
被4除的余数，
，若
，则
的值为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

6.点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是（ ）

A. 射线 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线

7.数列
是递增数列，且满足
，
，则
不可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.棱长为2的正方体
中，
为棱
的中点，点
分别为面
和线段
上的动点，则
周长的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

非选择题部分（共110分）

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

9.以椭圆
的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是 ，离心率为 .

10.函数
的图象如图所示，则
，
.

11.已知等差数列
的公差为-3，且
是
和
的等比中项，则通项
，数列
的前
项和
的最大值为 .

12.设奇函数
，则
的值为 ，不等式
在
上的解集为 .

13.若正数
满足
，则
的值为 .

14.若存在
使得不等式
成立，则实数
的取值范围是 .

15.如图，矩形
中，
，
，
分别为线段
上的点，且满足
，若
，则
的最小值为 .

三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（本题满分14分）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，
.

（1）求
的值；

（2）设
为
的中点，若
的面积为
，求
的长.

17. （本题满分15分）

如图，矩形
中，
，将其沿
翻折，使点
到达点
的位置，且二面角
为直二面角.

（1）求证：平面
平面
；

（2）设
是
的中点，二面角
的平面角的大小为
，当
时，求
的取值范围.

18. （本题满分15分）

已知二次函数
的图象过点
.

（1）记函数
在
上的最大值为
，若
，求
的最大值；

（2）若对任意的
，存在
，使得
，求
的取值范围.

19. （本题满分15分）

已知椭圆
的两个焦点为
，焦距为2，设点
满足
是等腰三角形.

（1）求该椭圆方程；

（2）过
轴上的一点
作一条斜率为
的直线
，与椭圆交于点
两点，问是否存在常数
，使得
的值与
无关？若存在，求出这个
的值；若不存在，请说明理由.

20. （本题满分15分）

设正项数列
满足：
，且对任意的
，
，均有
成立.

（1）求
，
的值，并求
的通项公式；

（2）（ⅰ）比较
与
的大小；

（ⅱ）证明：
.

2016年温州市高三第二次适应性测试

数学（理科）试题参考答案 2016.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

A

B

D

C

B

B



二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.
，
10.
，
11.
，

12.
，
13．1 14.
15.

三、解答题：本大题共5小题，共7４分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题14分）解：（Ⅰ）由
得：

即

，………………………………… 2分

（也可以由数量积的几何意义得出
）

与
都是锐角

………………………4分

得：
………………………………………………………………………9分

又
……………………11分

△
中，由余弦定理得：

……………………………………………………………………14分

17．（本题15分）（Ⅰ）
二面角
为直二面角，

平面
……………2分

平面
…………4分

平面
平面
…………6分

（Ⅱ）解法1：如图，以
为坐标原点，以
长为一个单位长度，

建立如图空间直角坐标系，则

……………8分

则

设平面
的法向量为

则
，取
，则
………………………………10分

同理设平面
的法向量为
………………………………12分

………………………………14分

…………………………………15分

解法2：过
作
于
，过
作
于
，连
，则

则二面角
的平面角为
…………………………………9分

为
的中点

由
，得
…………………………………11分

…………………………………14分

…………………………………15分

18. （本题15分）解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）
过点
，
，……1分

是开口向上的抛物线，
…………………………………3分

………………………………………………………………5分

两式相加得
，即
的最大值为
…………………………………………………………6分

解法二： 由

解得：
……………………6分

（Ⅱ）由题意，存在
，使

……………………8分

其对称轴为

①当
即
时，
在
上单调递增

均符合题意 ………………………10分

②当
即
时，

在
上递减，在
上递增且

由
得：
符合题意 ………………………12分

③当
即
时，

在
上递减，在
上递增且

由
得：

符合题意 …………………………13分

④当
即
时，
在
上单调递减

均符合题意 …………………………14分

综上所述：
或
…………………………15分

19. （本题15分）解：（Ⅰ）根据题意，有
………………4分

解得：
故所求椭圆方程为
……………………6分

（Ⅱ）联立方程：
，整理得：

在
的情况下有：
……………………9分

……………………………13分

令
，得
，即

此时
与